Witam czy mógłby ktoś sprawdzić moje rozwiązanie? W czworokącie wypukłym\(\displaystyle{ ABCD}\) zachodzą nierówności\(\displaystyle{ <ADB=2<ACB}\) oraz \(\displaystyle{ <BDC=2<BAC}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ AD=CD}\).
Niech dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ADB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i niech dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BDC}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ Y}\).Wówczas kąt \(\displaystyle{ XDB=XCB}\) ponad to punkty\(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) leża po jednej stronie BX i mają wspólna podstawe \(\displaystyle{ XB}\).Z tego wynika że punkty \(\displaystyle{ DXCB}\) leża na jednym okręgu , analogicznie dowodzimy że punkty \(\displaystyle{ ABYD}\) leża na jednym okręgu. Z kątów opartych na tym samym łuku wychodzi że \(\displaystyle{ <BAC=<BDY}\), \(\displaystyle{ <BXC=<BDC}\),\(\displaystyle{ <BYA=<BDA}\) i \(\displaystyle{ <BCA=<BDX}\). Kąt \(\displaystyle{ <BYA}\) jest dwa razy większy od kąta \(\displaystyle{ <BDX}\) ponad to leża po jednej stronie BX i mają wspólną podatwe \(\displaystyle{ BX}\) co dowodzi że punkt Y jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie \(\displaystyle{ BCDX}\). Analogicznie dowodzimy że punkt X jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie \(\displaystyle{ ABYD}\).Wnioskujemy z tego że \(\displaystyle{ AX=DX=XY=XB=YD=YC=YB}\). Trójkąt \(\displaystyle{ XBY}\) jest równoboczny i kąt \(\displaystyle{ <BYA=BXY}\) co daje \(\displaystyle{ <ADX=<YDC}\) trójkąty \(\displaystyle{ ADX}\) oraz \(\displaystyle{ DCY}\) są równoramienne ponad to mają identyczne kąty przy podstawie co daje ostatecznie że AD=DC