Równoległobok - prosty lemat

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie równoległobokiem, ale nie prostokątem; a punkt \(\displaystyle{ E}\) jest taki że \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są prostopadłe, oraz \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ CB}\) też są prostopadłe.
Udowodnić, że kąty \(\displaystyle{ DEA}\) i \(\displaystyle{ CEB}\) są równe.

[karolex123]

Zakładam, że \(\displaystyle{ AD<AB}\) (teza jest trywialna, gdy \(\displaystyle{ ABCD}\) jest rombem). Niech \(\displaystyle{ \angle BAD=\alpha}\) (i niech to będzie kąt ostry równoległoboku). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \angle AEC=\alpha}\), bo na czworokącie \(\displaystyle{ ABCE}\) można opisać okrąg. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie rzutem \(\displaystyle{ D}\) na \(\displaystyle{ AB}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\)- rzutem \(\displaystyle{ D}\) na \(\displaystyle{ AE}\). Czworokąt \(\displaystyle{ AXDY}\) jest prostokątem, zaś trójkąty \(\displaystyle{ AXD}\) i \(\displaystyle{ EYC}\) są podobne. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \frac{DY}{BC}= \frac{AX}{AD}= \frac{EY}{EC}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{DY}{EY}= \frac{BC}{EC}}\). Ponieważ dodatkowo \(\displaystyle{ \angle DYE=\angle BCE=90^{\circ}}\), to trójkąty \(\displaystyle{ DYE}\) i \(\displaystyle{ BCE}\) są podobne. W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ \angle DEA=\angle CEB}\)

-- 5 maja 2019, o 19:46 --

Czy teza jest prawdziwa, gdy \(\displaystyle{ \angle BAD}\) jest kątem rozwartym?