Sieczne okręgu

[kacper01]

Mamy dowolny okrąg \(\displaystyle{ O}\). \(\displaystyle{ AB}\) to średnica okręgu \(\displaystyle{ O}\). \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) to styczne do tego okręgu (\(\displaystyle{ A \in m, B \in n}\)). \(\displaystyle{ C}\) to pewien punkt na \(\displaystyle{ m}\) (\(\displaystyle{ C \neq A}\)).

\(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) to dwie różne sieczne okręgu \(\displaystyle{ O}\) przechodzące przez \(\displaystyle{ C}\). Punkty \(\displaystyle{ L_1}\) i \(\displaystyle{ L_2}\) to przecięcia \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ O}\); punkty \(\displaystyle{ K_1}\) i \(\displaystyle{ K_2}\) to przecięcia \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ O}\).

\(\displaystyle{ L_3}\), \(\displaystyle{ L_4}\) to przecięcia \(\displaystyle{ AL_1}\), \(\displaystyle{ AL_2}\) z \(\displaystyle{ n}\); \(\displaystyle{ K_3}\), \(\displaystyle{ K_4}\) to przecięcia \(\displaystyle{ AK_1}\), \(\displaystyle{ AK_2}\) z n.

Udowodnić \(\displaystyle{ |L_3K_3| = |L_4K_4|}\)

Pamiętam że widziałem kiedyś dowód tego z osi potęgowych ale niestety nie umiem go odtworzyć więć proszę o pomoc.

[Dilectus]

Mamy dowolny okrąg \(\displaystyle{ O}\). \(\displaystyle{ AB}\) to średnica okręgu \(\displaystyle{ O}\). \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) to styczne do tego okręgu (\(\displaystyle{ A \in m, B \in n}\)).

To znaczy, że te styczne są wzajemnie równoległe.
Daj jakiś rysunek, bo Twój opis jest trudny do przebrnięcia. Próbowałem zrobić rysunek na podstawie tego opisu, i wymiękłem...

[kacper01]

AU

iZ8GtA7.png (33.89 KiB) Przejrzano 157 razy

[Dilectus]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \Delta ABL_1}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \Delta ABL_3}\)

\(\displaystyle{ \Delta ABK_1}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \Delta ABK_3}\)

\(\displaystyle{ \Delta ABK_2}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \Delta ABK_4}\)

\(\displaystyle{ \Delta ABL_2}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \Delta ABL_4}\)

Zastanów się, dlaczego.

Myślę, że to spostrzeżenie wystarczy do rozwiązania tego zadania, choć pewien nie jestem.