Jaką częścią pola dużego kwadratu jest pole małego kwadratu?

[Michal2115]

W kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leżą na bokach pierwszego kwadratu, a boki tworzą z bokami pierwszego kąty ostre o miarach \(\displaystyle{ 30}\) i \(\displaystyle{ 60}\). Jaką częścią pola dużego kwadratu jest pole małego kwadratu?

[a4karo]

Znasz twierdzenie Pitagorasa?

[Jan Kraszewski]

W kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leżą na bokach pierwszego kwadratu, a boki tworzą z bokami pierwszego kąty ostre o miarach \(\displaystyle{ 30}\) i \(\displaystyle{ 60}\).

\(\displaystyle{ 30}\) i \(\displaystyle{ 60}\) czego? Uniwersalnej jednostki kątowej?

Dbaj o staranność sformułowań.

JK

[Dilectus]

Popatrz na cztery trójkąty prostokątne, które powstały po tym wpisaniu.

[kruszewski]

Znasz twierdzenie Pitagorasa?

Widziałeś rysunek pod którym Bhaskara napisał jedno słowo: PATRZ. ?

[Dilectus]

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ a}\) - bok dużego kwadratu

\(\displaystyle{ b}\) - bok wpisanego kwadratu

\(\displaystyle{ x}\) - krótsza przyprostokątna trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez kwadrat wpisany (są cztery takie trójkąty).

Z warunków zadania wynika, że

\(\displaystyle{ \frac{x}{b} = \sin 30^o= \frac{1}{2}\ \Rightarrow \ x= \frac{1}{2} b}\)

Pole wpisanego kwadratu \(\displaystyle{ S_b}\) będzie równe polu dużego kwadratu pomniejszonemu o pole czterech trójkątów prostokątnych. Zapiszmy więc:

\(\displaystyle{ S_b= b^2= a^2-4\cdot \frac{1}{2} x\left( a-x\right)=a^2-2\cdot \frac{1}{2}b\left( a- \frac{1}{2} b \right)}\)

\(\displaystyle{ S_b= b^2=a^2-b\left( a- \frac{1}{2} b \right)}\)

Mamy więc trójmian kwadratowy (w którym niewiadomą jest \(\displaystyle{ b}\))

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b^2+ab-a^2=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=3a^2}\)

\(\displaystyle{ b_1= \frac{-a-a \sqrt{3} }{2 \frac{1}{2} }<0}\) a więc odrzucamy

\(\displaystyle{ b_2= -a+a \sqrt{3}=a( \sqrt{3} -1)}\)

a więc bok kwadratu wpisanego jest równy

\(\displaystyle{ b= a( \sqrt{3} -1)}\)

No to stosunek pól obu kwadratów

\(\displaystyle{ \frac{b^2}{a^2}= \frac{a^2( \sqrt{3}-1)^2 }{a^2}=( \sqrt{3}-1)^2=4-2 \sqrt{3}}\)

Chyba że się gdzieś rąbnąłem, w co wątpię. -- 17 kwi 2019, o 17:34 --Można jeszcze policzyć długość odcinka x:

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}b = \frac{a}{2}\left( \sqrt{3}-1 \right)}\)

[kruszewski]

Bok \(\displaystyle{ a = b(\sin 30^o + \cos 30^o) = \frac{b}{2}(1 + \sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} = \left( \frac{1+ \sqrt{3} }{2} \right) ^2}\)

Oznaczając \(\displaystyle{ a^2=A; \ b^2 = B}\), otrzymyjemy:

\(\displaystyle{ \frac{A}{B}= \frac{1 + 2 \sqrt{3}+3 }{4} = 1 + \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Jeżeli ja nie rąbnąłem się, choć nie powinienem.