Zbiór i trójkąty

[mol_ksiazkowy]

Dany jest skończony zbiór \(\displaystyle{ P}\) punktów na płaszczyźnie, taki że każdy trójkąt o wierzchołkach z tego zbioru ma pole mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że istnieje trójkąt o polu mniejszym niż \(\displaystyle{ 4}\), taki, że każdy punkt ze zbioru \(\displaystyle{ P}\) należy do tego trójkąta.

[ivni]

Spośród wszystkich trójkątów o wierzchołkach z danego zbioru, weźmy trójkąt o największym polu \(\displaystyle{ P}\), powiedzmy \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Oczywiście \(\displaystyle{ P<1}\). Teraz poprowadźmy proste równoległe do boków \(\displaystyle{ AB,BC,CA}\) i przechodzące odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ C,A,B}\). Proste te przetną się w 3 punktach \(\displaystyle{ A',B',C'}\). Wówczas \(\displaystyle{ P _{\triangle A'B'C'}=4P<4}\). Pokażemy, że każdy punkt z danego zbioru należy do tego trójkąta. Załóżmy teraz wbrew tezie, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ X}\), który leży poza tym trójkątem. Wówczas \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) muszą leżeć po dwóch różnych stronach którejś z prostych \(\displaystyle{ A'B',B'C',C'A'}\), powiedzmy \(\displaystyle{ A'B'}\). Wówczas \(\displaystyle{ P_{ABX}>P}\), co przeczy założeniu, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ma największe pole.