Przekątne czworokąta i dowód równoległości

[ivni]

W cyklicznym czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do przekątnej \(\displaystyle{ BD}\), a punkt \(\displaystyle{ F}\) do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\), przy czym \(\displaystyle{ BE=BA}\) oraz \(\displaystyle{ CF=CD}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ EF||BC}\).

Mam póki co, że \(\displaystyle{ \triangle ABE \sim \triangle DCF}\). Ponadto z własności czworokąta cyklicznego \(\displaystyle{ \triangle ASD \sim \triangle BSC}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych. Aby dowieść tezy, wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \triangle BSC \sim \triangle ESF}\), czyli na przykład \(\displaystyle{ \frac{ES}{FS} = \frac{SB}{SC}}\). I tu utknąłem. Myślałem może, żeby jakoś wyznaczyć długości \(\displaystyle{ SB}\) i \(\displaystyle{ SC}\) z twierdzenia Stewarta, ale niewiele z tego wyszło. Mam wrażenie, że nie wykorzystałem jeszcze tego, że \(\displaystyle{ \triangle ABE \sim \triangle DCF}\).

[anna_]

Skoro udowodniłeś, że
\(\displaystyle{ \triangle ASD \sim \triangle BSC}\)
to masz:
\(\displaystyle{ |\angle ADS|=|\angle EFS|}\)

Z kolei
\(\displaystyle{ |\angle ACB|=|\angle ADS|}\) - kąty wpisane oparte na tym samym łuku
i
\(\displaystyle{ |\angle ESF|=|\angle BSC|}\) - kąty wierzchołkowe
czyli
\(\displaystyle{ \triangle BSC \sim \triangle ESF}\)