Długość boków równoległoboku

[41421356]

W pewnym równoległoboku stosunek długości przekątnych jest równy \(\displaystyle{ 1:2}\). Dłuższa przekątna ma długość \(\displaystyle{ 6 \ \mathb{cm}}\), a miara jednego z kątów wewnętrznych to \(\displaystyle{ 135^{o}}\). Oblicz długości boków tego równoległoboku.

[janusz47]

Z podanego ilorazu długości przekątnych:

\(\displaystyle{ p = ...}\) cm,

\(\displaystyle{ q = 6}\) cm.

Z twierdzenia kosinusów (Carnota) dla trójkąta o kącie wewnętrznym \(\displaystyle{ 135^{o}}\)

długość dłuższego boku równoległoboku jest równa

\(\displaystyle{ a =...}\) cm.

Z twierdzenia kosinusów (Carnota) dla trójkąta o kącie wewnętrznym \(\displaystyle{ 45^{o}}\)

długość krótszego boku równoległoboku jest równa

\(\displaystyle{ b =...}\) cm.

[41421356]

Nie bardzo rozumiem tą wskazówkę. Jeśli ułożę pierwsze równanie z twierdzenia kosinusów to wyjdzie mi jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Jak mam z niego wyliczyć jeden bok równoległoboku?

[janusz47]

Mamy długości dwóch boków trójkąta ( są to połowy długości przekątnych równoległoboku) i miarę kąta zawartego między tymi bokami.

Z twierdzenia kosinusów (Carnota) - możemy obliczyć długość boku trzeciego:

\(\displaystyle{ a = \sqrt{1,5^2 + 3^2 - 2\cdot 1,5\cdot 3 \cdot \cos(135^{0})}= \sqrt{1,5^2+3^2 +2\cdot 1,5\cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =...}\)

[41421356]

A skąd wiadomo że ten kąt między przekątnymi akurat tyle wynosi?

[kruszewski]

Proszę przedłużyć boki przecinające się w wierzchołku po za wierzchołek i zauważyć że "powstały" dwa kąty wierzchołkowe o znanej mierze a pozostałe dwa dopełniają do kąta pełnego.

[janusz47]

Słuszne pytanie. W treści zadania dana jest miara jednego z kątów wewnętrznych równoległoboku, a nie miara kąta między przekątnymi, którą przyjąłem, a która nie musi się równać kątowi wewnętrznemu równoległoboku.

W związku z tym proponuję następujące rozwiązanie.

Ze wzoru kosinusów

\(\displaystyle{ 6^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cos(135^{o}) \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ 3^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cos(45^{o}) \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ a^2 = 3^2 + 1,5^2+2\cdot 1,5 \cdot 3 \cos(\phi)}\)

\(\displaystyle{ b^2 = 3^2 + 1,5^2 -2\cdot 1,5\cdot 3 \cos(\phi)}\)

\(\displaystyle{ \phi}\) miara kąta między przekątnymi równoległoboku.

Dodając stronami ostatnie dwa równania

\(\displaystyle{ a^2 +b^2 = 22,5 \ \ (3)}\)

Uwzględniając \(\displaystyle{ (3)}\) na przykład w \(\displaystyle{ (1),}\)

\(\displaystyle{ 13, 5 = a\cdot b\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ a\cdot b = \frac{13,5}{\sqrt{2}} \ \ (4)}\)

Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (3), (4),}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ a \approx 4,1 cm, \ \ b \approx 2,3 cm .}\)

lub

\(\displaystyle{ a \approx 2,3 cm; \ \ b \approx 4,1 cm.}\)

[41421356]

Nie za bardzo rozumiem tą podpowiedź z przedłużaniem boków. Boki co najwyżej się stykają, a nie przecinają...

[piasek101]

Inaczej.
Dorysować wysokości poprowadzone na prostą z dłuższym bokiem - jedną z wierzchołka kąta ostrego (ta na zewnątrz równoległoboku), drugą z wierzchołka kąta rozwartego.
Poszukać trójkątów prostokątnych i z Pitagorasa (sztuk dwa).
Jeśli trzeba wrzucę rysunek.

[edit] Myślałem , że rozwiązanie układu (mojego) będzie mniej pracochłonne - ale do ogarnięcia.

[kruszewski]

Nie za bardzo rozumiem tą podpowiedź z przedłużaniem boków. Boki co najwyżej się stykają, a nie przecinają...

Poprawnie to: "przedłużamy proste do których przynależą boki mające wspólny wierzchołek".

[kerajs]

Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (3), (4),}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ a \approx 4,1 cm, \ \ b \approx 2,3 cm .}\)
lub
\(\displaystyle{ a \approx 2,3 cm; \ \ b \approx 4,1 cm.}\)

Nie bardzo rozumiem dlaczego (zwłaszcza przy tak rozpisanym rozwiązaniu) wynik nie może być dokładny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{3 \sqrt{5+ \sqrt{7} } }{2} \\ b= \frac{3 \sqrt{5-\sqrt{7} } }{2} \end{cases} \vee \begin{cases} a= \frac{3 \sqrt{5- \sqrt{7} } }{2} \\ b= \frac{3 \sqrt{5+ \sqrt{7} } }{2} \end{cases}}\)

[Dilectus]

Hmm... Ja podszedłem do zadania tak: Znamy kąty w równoległoboku i długość przekątnych, w związku z tym, posługując się dwukrotnie twierdzeniem cosinusów, można napisać taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2-2ab\cos 135 =6^2 \\ a^2+b^2-2ab \cos 45=3^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+2ab \frac{ \sqrt{2} }{2} =36 \\ a^2+b^2-2ab \frac{ \sqrt{2} }{2}=9 \end{cases}}\)

ostatecznie po wymnożeniu mamy


\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+\sqrt{2}\cdot ab =36 \\ a^2+b^2-\sqrt{2}\cdot ab=9 \end{cases}}\)



Układ wygląda niewinnie, ale wymiękłem przy jego rozwiązywaniu...

Jak się kolejno doda i odejmie stronami te równania, to dostajemy taki układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2= \frac{45}{2} \\ ab= \frac{27}{2 \sqrt{2} } \end{cases}}\)

pierwsze z równań jest równaniem okręgu, a drugie - funkcją homograficzną. Na rysunku łatwo widać dwa możliwe rozwiązania (dwa pozostałe są ujemne, więc do pominięcia). Ale do pięknego, niewymiernego wyniku Kerajsa nie udało mi się dojść.

[kruszewski]

Rozwiązanie geometryczne

Promień okręgu \(\displaystyle{ R=2r}\) , kąt \(\displaystyle{ \alpha = 135^o}\);
przekątne:
\(\displaystyle{ |AC| = 2 |BD| = 2 |FG|}\);

\(\displaystyle{ AF ||GC, \ AD || BC, \ AG || FC}\)




Zauważamy, że przy spełnieniu warunków za wyjątkiem tego, że \(\displaystyle{ | \alpha | \neq 135^o}\)
co oanacza, że \(\displaystyle{ \nangle \beta \neq \angla \alpha}\), miary przekątnych nie uległy zmianie, dalej ich stosunek jest jak \(\displaystyle{ 1 : 2}\) choć miary boków równoległoboku zmieniły się.

[piasek101]

Wrzucę też rysunek i układ do mojego opisu, boki równoległoboku to \(\displaystyle{ (x+y)}\) oraz \(\displaystyle{ x\sqrt 2}\).

Kod: Zaznacz cały

https://www.fotosik.pl/zdjecie/70b86e161b590e11

AU

70b86e161b590e11.gif (1.82 KiB) Przejrzano 394 razy

[/url]
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2x+y)^2+x^2=6^2 \\ x^2+y^2=3^2 \end{cases}}\)

[41421356]

Jestem w pełni ukontentowany z Waszych wskazówek. Dziękuję po stokroć za pełne szczegółów odpowiedzi!