Trapez wpisany w okrąg

[matematykipatyk]

W okrąg wpisano trapez o wysokości \(\displaystyle{ h}\). Kąt między promieniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion trapezu jest równy \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P= \frac{h^2}{\tg \alpha }}\).

[janusz47]

Kiedy trapez można wpisać w okrąg?

[matematykipatyk]

Wtedy kiedy suma przeciwległych kątów jest równa \(\displaystyle{ 180^{o}}\) i musi być równoramienny. Nie wiem co z ta informacją zrobić .

[janusz47]

Narysuj trapez równoramienny wpisany wpisany w okrąg.

Zaznacz wierzchołki trapezu \(\displaystyle{ ABCD.}\)

Połącz promieniami okręgu na przykład punkty \(\displaystyle{ B,O}\) i \(\displaystyle{ C ,O.}\)

\(\displaystyle{ O}\) - środek okręgu.

Zaznacz kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) między odcinkami \(\displaystyle{ \overline{BO}, \ \ \overline{CO}.}\)

Połącz wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) trapezu z wierzchołkiem \(\displaystyle{ C}\).

Co możesz powiedzieć o kątach \(\displaystyle{ \angle{COB}, \ \ \angle{CAB}?}\)

[matematykipatyk]

Kąt \(\displaystyle{ \angle{BOC}}\) jest dwa razy większy niż\(\displaystyle{ \angle{CAB}}\). Co dalej???

[janusz47]

Czyli miara \(\displaystyle{ \angle{CAB} = \alpha}\) (jako miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy \(\displaystyle{ 2\alpha}\)).

Z trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ CAE,}\) w którym punkt \(\displaystyle{ \overline{CE} = h, \ \ \angle{CAB} = \alpha,}\) jak obliczysz długość odcinka \(\displaystyle{ \overline{AE}}\) zawartego w podstawie trapezu?

[matematykipatyk]

\(\displaystyle{ \frac{h}{|AE|}= \tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{\tg \alpha}=|AE|}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{(|AB|+|CD|)h}{2}=\frac{(2|AE|)h}{2} = \frac{h^2}{\tg \alpha}}\)
Dziękuję .

[janusz47]

\(\displaystyle{ \overline{|AE|}= h\cdot \ctg(\alpha) \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \overline{|AE|} = \overline{|AB|} - \overline{|EB|} = \overline{|AB|} - \frac{\overline{|AB|} - \overline{|CD|}}{2} = \frac{2\overline{|AB|}- \overline{|AB|} +\overline{|CD|}}{2} = \frac{\overline{|AB|}+ \overline{|CD|}}{2} \ \ (2)}\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (2)}\) i \(\displaystyle{ (1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\overline{|AB|}+ \overline{|CD|}}{2} = h\cdot \ctg(\alpha)}\)

Pole trapezu

\(\displaystyle{ |P| = \frac{\overline{|AB|}+ \overline{|CD|}}{2}\cdot \overline{|CE|}= h^2\cdot \ctg(\alpha) = \frac{h^2}{\tg(\alpha)}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \overline{|CE|} = h.}\)