Podział wielokąta

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ n>3}\) zachodzi twierdzenie:
W dowolnym \(\displaystyle{ n}\) kącie wypukłym o polu \(\displaystyle{ 1}\) można odciąć jakąś przekątną część tego wielokąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
?

[kerajs]

\(\displaystyle{ S_n= \frac{1}{4} na^2\ctg \frac{ \pi }{n} \\
1=\frac{1}{4} na^2\ctg \frac{ \pi }{n} \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ a^2=\frac{4}{n} \tg \frac{ \pi }{n}}\)
Najkrótsza przekątna odcina trójkąt o polu:
\(\displaystyle{ S'= \frac{1}{2}a^2\sin ( \pi - \frac{2 \pi }{n})= \frac{1}{2}a^2\sin \frac{2 \pi }{n}}\)
zakładam że \(\displaystyle{ S' \le \frac{1}{n}}\) a wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2\sin \frac{2 \pi }{n} \le \frac{1}{n}\\
\frac{1}{2}\frac{4}{n} \tg \frac{ \pi }{n}\sin \frac{2 \pi }{n} \le \frac{1}{n}\\
2 \frac{\sin \frac{ \pi }{n}}{\cos \frac{ \pi }{n}}2 \sin \frac{ \pi }{n}\cos \frac{ \pi }{n} \le 1\\
\sin^2 \frac{ \pi }{n} \le (\frac{1}{2})^2 \\
\sin \frac{ \pi }{n} \le \frac{1}{2}\\
\sin \frac{ \pi }{n} \le \sin \frac{ \pi }{6}\\
n \ge 6}\)

[mol_ksiazkowy]

A co to jest \(\displaystyle{ S_n}\) ?

[kerajs]

\(\displaystyle{ S_n}\) to pole n-kąta foremnego o boku \(\displaystyle{ a}\)


Zdanie: W dowolnym czworokącie wypukłym o polu 1 można odciąć jakąś przekątną część tego czworokąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), jest fałszywe gdyż istnieją czworokąty które go nie spełniają (np. wszystkie równoległoboki).

A jak będzie dla pewnych n-kątów? Z n-kąta mogę odciąć trójkąt którego dwa boki są kolejnymi bokami n-kata, a trzeci jego przekątną. Takich trójkątów jest n, i wystarczy aby tylko najmniejszy z nich spełniał tezę. Dlatego przyjąłem, że ten najmniejszy będzie miał największe pole gdy będzie odcięty z n-kąta foremnego. I stąd przedstawione powyżej rozwiązanie.