Odległość między wierzchołkiem a punktem styczności

[ellexxx]

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy \(\displaystyle{ 200}\). Tangens jednego z jego kątów ostrych wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Oblicz ogległość między wierzchołkiem kąta prostego a punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną.
Długości boków mi wyszły \(\displaystyle{ 600, 800, 1000}\).
Potem oznaczam \(\displaystyle{ x}\) jako szukana odległość i \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ 1000-y}\) jako części, na które ten odcinek (odległość) dzieli przeciwprostokątną. I powstaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 600^{2}\\x^{2} + (1000 - y)^{2} = 800^{2}\end{cases}}\)
W ten sposób wychodzi mi \(\displaystyle{ x = 480}\), jednak odpowiedź to \(\displaystyle{ x = 40 \sqrt{145}}\).
Co robię źle?

[janusz47]

\(\displaystyle{ r = \frac{a+b-c}{2}}\)

\(\displaystyle{ 200 = \frac{3x +4x -5x}{2}}\)

\(\displaystyle{ x = 100.}\)

\(\displaystyle{ a = 600, \ \ b = 800, \ \ c = 1000.}\)

Długości boków trójkąta prostokątnego wyznaczyłeś poprawnie.

Oznacz sobie na przykład tę odległość przez \(\displaystyle{ d}\) (rysunek)

Stosując twierdzenie o długości stycznych wyprowadzonych z wierzchołka do okręgu - wyznacz długości odcinków \(\displaystyle{ x , y,}\)

Wyznacz wartość kosinusa kąta \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Zastosuj twierdzenie kosinusów w celu wyznaczenia odległości wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej trójkąta:

\(\displaystyle{ d^2 = x^2 +y^2 -2\cdot x\cdot y\cdot \cos(\alpha).}\)

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że trójkąt o bokach miary \(\displaystyle{ 600 \ i \ 800}\), między którymi jest kąt \(\displaystyle{ \alpha = \arctg \frac{3}{4}}\) , nie jest prostokątny, stąd tw. Pitagorasa nie może być zastosowane .

[ellexxx]

Już wiem, myślałam, że ta odległość jest jednocześnie wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego, jednak tak nie jest

[piasek101]

435649.htm