Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych

[matematykipatyk]

W jakim wielokącie wypukłym suma miar kątów wewnętrznych do sumy miar kątów zewnętrznych jest równa:
a) \(\displaystyle{ 4}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{9}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{15}{4}}\)
Suma miar kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ n}\) kąta jet równa \(\displaystyle{ 180^{o}(n-2)}\)
Jeden taki kąt ma miarę \(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). W związku z tym odpowiadający mu kąt zewnętrzny ma \(\displaystyle{ 360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). Takich kątów jest \(\displaystyle{ n \cdot (360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n} )=360^{o}n-(180^{o}(n-2))=360^{o}n-180^{o}n+360^{o}= 180^{o}(n+2)}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{180^{o}(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-2)}{(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ -3n=10}\)
??????????
Czy tok mojego rozumowania jest poprawny? Jakim cudem wynik takiego ilorazu może być większy od \(\displaystyle{ 1}\). Przecież suma miar kątów wewnętrznych jest mniejsza od sumy zewnętrznych?

[kerajs]

Też się kiedyś przejechałem na kącie zewnętrznym.
Przeczytaj

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/K%C4%85t_zewn%C4%99trzny

[matematykipatyk]

Wow!!!!!!!!!!!!!!!! Ale motyw. Tego się nie spodziewałem.

[piasek101]

Ciekawostka - suma miar kątów zewnętrznych jest zawsze taka sama dla różnych wielokątów.
Wiesz jaka ?

[matematykipatyk]

Wiem. Jest równa \(\displaystyle{ 720^{o}}\). I dla wielokątów foremnych potrafię to udowodnić. Twierdzenie zachodzi dla dowolnych wypukłych i tego już nie potrafię. Powstaje też pytanie jak nazywa się kąt który dopełnia kąt wewnętrzny do \(\displaystyle{ 360^{o}}\). Poza tym mogę dodać, że ostatnio w 1 z 10 było pytanie o sumę kątów zewnętrznych prostokąta o gość podał \(\displaystyle{ 1080^{o}}\) i odpowiedź była uznana za prawidłową.

[piasek101]

Dla dowolnego (n) kąta wypukłego zachodzi (nie piszę stopni) :

suma miar kątów pełnych przy jego wierzchołkach to \(\displaystyle{ 360n}\)

suma miar jego kątów wewnętrznych to \(\displaystyle{ 180(n-2)}\)

Zatem suma kątów zewnętrznych to \(\displaystyle{ 360n-2\cdot 180(n-2)}\)

[a4karo]

A uzasadnienie jest takie, że jak obejdziesz wielokąt w jedną stronę to sumarycznie zakręcisz o 360 stopni. A w drugą stronę masz drugie tyle

[matematykipatyk]

Chciałbym jeszcze raz zapytać się czy ktoś wie jak nazywa się kąt który dopełnia kąt wewnętrzny do \(\displaystyle{ 360^{o}}\).

[piasek101]

Prawdopodobnie trochę szukałeś (ja się nie spotkałem - to nie argument) - może nikt go nie nazwal.