Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
W jakim wielokącie wypukłym suma miar kątów wewnętrznych do sumy miar kątów zewnętrznych jest równa:
a) \(\displaystyle{ 4}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{9}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{15}{4}}\)
Suma miar kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ n}\) kąta jet równa \(\displaystyle{ 180^{o}(n-2)}\)
Jeden taki kąt ma miarę \(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). W związku z tym odpowiadający mu kąt zewnętrzny ma \(\displaystyle{ 360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). Takich kątów jest \(\displaystyle{ n \cdot (360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n} )=360^{o}n-(180^{o}(n-2))=360^{o}n-180^{o}n+360^{o}= 180^{o}(n+2)}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{180^{o}(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-2)}{(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ -3n=10}\)
??????????
Czy tok mojego rozumowania jest poprawny? Jakim cudem wynik takiego ilorazu może być większy od \(\displaystyle{ 1}\). Przecież suma miar kątów wewnętrznych jest mniejsza od sumy zewnętrznych?
a) \(\displaystyle{ 4}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{9}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{15}{4}}\)
Suma miar kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ n}\) kąta jet równa \(\displaystyle{ 180^{o}(n-2)}\)
Jeden taki kąt ma miarę \(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). W związku z tym odpowiadający mu kąt zewnętrzny ma \(\displaystyle{ 360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n}}\). Takich kątów jest \(\displaystyle{ n \cdot (360^{o} - \frac{180^{o}(n-2)}{n} )=360^{o}n-(180^{o}(n-2))=360^{o}n-180^{o}n+360^{o}= 180^{o}(n+2)}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{180^{o}(n-2)}{180^{o}(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-2)}{(n+2)} =4}\)
\(\displaystyle{ -3n=10}\)
??????????
Czy tok mojego rozumowania jest poprawny? Jakim cudem wynik takiego ilorazu może być większy od \(\displaystyle{ 1}\). Przecież suma miar kątów wewnętrznych jest mniejsza od sumy zewnętrznych?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Też się kiedyś przejechałem na kącie zewnętrznym.
Przeczytaj
Przeczytaj
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/K%C4%85t_zewn%C4%99trzny
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Wow!!!!!!!!!!!!!!!! Ale motyw. Tego się nie spodziewałem.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Ciekawostka - suma miar kątów zewnętrznych jest zawsze taka sama dla różnych wielokątów.
Wiesz jaka ?
Wiesz jaka ?
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Wiem. Jest równa \(\displaystyle{ 720^{o}}\). I dla wielokątów foremnych potrafię to udowodnić. Twierdzenie zachodzi dla dowolnych wypukłych i tego już nie potrafię. Powstaje też pytanie jak nazywa się kąt który dopełnia kąt wewnętrzny do \(\displaystyle{ 360^{o}}\). Poza tym mogę dodać, że ostatnio w 1 z 10 było pytanie o sumę kątów zewnętrznych prostokąta o gość podał \(\displaystyle{ 1080^{o}}\) i odpowiedź była uznana za prawidłową.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Dla dowolnego (n) kąta wypukłego zachodzi (nie piszę stopni) :
suma miar kątów pełnych przy jego wierzchołkach to \(\displaystyle{ 360n}\)
suma miar jego kątów wewnętrznych to \(\displaystyle{ 180(n-2)}\)
Zatem suma kątów zewnętrznych to \(\displaystyle{ 360n-2\cdot 180(n-2)}\)
suma miar kątów pełnych przy jego wierzchołkach to \(\displaystyle{ 360n}\)
suma miar jego kątów wewnętrznych to \(\displaystyle{ 180(n-2)}\)
Zatem suma kątów zewnętrznych to \(\displaystyle{ 360n-2\cdot 180(n-2)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
A uzasadnienie jest takie, że jak obejdziesz wielokąt w jedną stronę to sumarycznie zakręcisz o 360 stopni. A w drugą stronę masz drugie tyle
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Chciałbym jeszcze raz zapytać się czy ktoś wie jak nazywa się kąt który dopełnia kąt wewnętrzny do \(\displaystyle{ 360^{o}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do zewnętrznych
Prawdopodobnie trochę szukałeś (ja się nie spotkałem - to nie argument) - może nikt go nie nazwal.