Rozbicie wzoru na środki pól szachownicy z 4 skrajnych pól.

[Marianexyx]

Na układzie kartezjańskim umieszczona jest szachownica. Szachownica jest czworokątem, której wszystkie boki mogą mieć różne długości i żaden z nich może nie być równoległy do żadnej z osi układu. Dane są środki (x,y) 4 skrajnych pól szachownicy: A1, A8, H1, H8. Wyznacz wzór, za pomocą którego będziesz wstanie znaleźć środek każdego pola na szachownicy. Wytłumacz jak wyprowadzono wzór.

Dawno temu to liczyłem i w napływie matematycznego natchnienia udało mi się kiedyś wyprowadzić poniższy wzór. Już po chwili nie byłem pewny jak mi się udało do niego dojść, a stare notatki z jego wyliczeniem zgubiłem. Podstawiając wzór w programie wyniki mi wychodziły dobre, więc wzór działa. Chciałem teraz edytować ten wzór, tak aby pasował do różnych liczby pól (innych niż 8), ale nie mogę rozszyfrować jak do tego wzoru doszedłem . Póki nie zrozumiem ponownie jak doszedłem do tego wzoru, to nie będę w stanie go edytować do innych warunków (działam póki co na oślep, ale nie mam dobrych wyników). Ktoś dałby radę mnie naprowadzić? Albo może istnieje lepsza metoda na wyprowadzenie wzoru na wszystkie środki pól szachownicy z posiadanych danych?

Podstawiając pod zdefiniowane pola (A1, A8, H1, H8) ich wartości "x", lub "y" jestem w stanie za pomocą tego wzoru obliczyć \(\displaystyle{ P _{LC}}\) kolejno dla wartości "x" i "y" dla każdego podanego środka pola, opisywanego za pomocą współrzędnych litery i cyfry (L i C):
\(\displaystyle{ P _{LC} = A _{1} + C \cdot \left( \frac{A _{8} -A _{1}}{7} + \frac{L}{14} \cdot \left( \frac{A _{1} -H _{1}}{7} - \frac{A _{8} -H _{8}}{7} \right) \right) - L \cdot \left( \frac{A _{1} -H _{1}}{7} + \frac{C}{14} \cdot \left( \frac{H _{8} -H _{1}}{7} - \frac{A _{8} -A _{1}}{7} \right) \right).}\)

Czyli np. jeśli bym chciał obliczyć środek pola zaznaczonego na rysunku (niebieskie \(\displaystyle{ P _{LC}}\) , czyli pole C4 [C=3, L=4]), to pod wzór na jego wartość "y" wstawiłbym następujące wartości:
\(\displaystyle{ P _{C4y} = A _{1y} + 3 \cdot \left( \frac{A _{8y} -A _{1y}}{7} + \frac{4}{14} \cdot \left( \frac{A _{1y} -H _{1y}}{7} - \frac{A _{8y} -H _{8y}}{7} \right) \right) -\\- 4 \cdot \left( \frac{A _{1y} -H _{1y}}{7} + \frac{3}{14} \cdot \left( \frac{H _{8y} -H _{1y}}{7} - \frac{A _{8y} -A _{1y}}{7} \right) \right).}\)

Inne dodatkowe informacje:
-System w którym pracuje ma osie "na odwrót" tj. oś "x" w miejsce "y". Nie mam pewności czy mogę dowolnie je tutaj zamieniać.
-Wszystkie wartości osi "x" są zawsze dodatnie. Szachownica przecina mniej więcej przez środek wartość \(\displaystyle{ 0}\) na osi "y". Nie mam pewności czy ma to jakiś wpływ na wzór.
-Owy wzór działa mi także w trzeciej osi "z", jednakże zakładam że do obliczenia wzoru potrzebne będą tylko 2 osie.
-Czworokąt został tak przedstawiony, by daleko miał do kwadratu. W rzeczywistości jest on do niego mocno zbliżony i dosyć równoległy z osią "y". Jednak nawet małe przekłamania powodują mi spore błędy w dalszych obliczeniach, dlatego szachownica została przedstawiona w owej pokracznej formie.
-Pola szachownicy są proporcjonalne do innych pól wokół nich, tj. linie oddzielające poszczególne pola są tak bardzo równoległe i równo odległe od kolejnych linii jak tylko się da.-- 10 stycznia 2019, 00:50 --Już sobie z tym poradziłem.