Policz pole zacieniowanej figury

Fuspepro · Post autor: **Fuspepro** » 29 gru 2018, o 20:51

Treść zadania jest dużo bardziej skomplikowana, ale chodzi tu o policzenie figury, którą naszkicowałem (zdjęcie). Bazujemy na najmniejszym kole o promieniu 2. Wycinamy z niego dwa kawałki posługując się kołami o początkach w punkcie B i C. Oba koła o promieniu \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\). Długość odcinka CB również wynosi \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\). Proszę o wytłumaczenie jak to policzyć. Z góry dziękuję za pomoc.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2018, o 21:37

Punkt przecięcia dużych okręgów E.
Poprowadź prostą \(\displaystyle{ AE}\), przetnie ona mały okrąg w \(\displaystyle{ F}\).
Niech drugi punkt przecięcia okręgu \(\displaystyle{ O_3}\) z osią X to będzie \(\displaystyle{ G}\).

Teraz od pola trójkąta EFG odejmij pole odcinka dużego koła - czyli tego \(\displaystyle{ EG}\); oraz dodaj pole odcinka małego koła - czyli \(\displaystyle{ FG}\).
Masz połowę szukanego pola.

Fuspepro · Post autor: **Fuspepro** » 29 gru 2018, o 21:52

Tak masz rację, ale nie znam miar tych kątów

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2018, o 21:55

W mniejszym kole to \(\displaystyle{ 45^0}\) (przecież).

W większym da się wyznaczyć bo masz czerwony trójkąt równoramienny o znanych bokach.

Fuspepro · Post autor: **Fuspepro** » 29 gru 2018, o 22:00

Zgadza się, nie udało mi się tego zauważyć, ponieważ jestem trochę rozkojarzony robiąc dwa zadania jednocześnie.
O ile początek zadania jest dobry i rysunek jest dobry to to zadanie mogę uznać za zrozumiałe. Wrócę do niego później. Dzięki wielkie za pomoc!

-- 29 gru 2018, o 23:30 --

Nie umiem jeszcze policzyć kąta \(\displaystyle{ \beta}\) mam długości odcinków \(\displaystyle{ |O_{3}E|}\) \(\displaystyle{ |O_{3}G|}\) ale nie mam \(\displaystyle{ |EG|}\), który próbowałem policzyć z trójkąta \(\displaystyle{ O_{1}FG}\) - wyznaczyć długość \(\displaystyle{ |GF|}\), ale nie wiem czy ona jest równa \(\displaystyle{ |EG|}\)
Być może jest jakieś łatwiejsze rozwiązanie obliczenia tego kąta i go nie zauważyłem

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 gru 2018, o 20:53

Punkt \(\displaystyle{ E=(1-\sqrt 3; 1 - \sqrt 3)}\)

Fuspepro · Post autor: **Fuspepro** » 30 gru 2018, o 20:55

A czy mniej więcej mógłbyś mi to wytłumaczyć?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 gru 2018, o 21:02

\(\displaystyle{ E=(x; x)}\) bo leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

Wstawiasz go do równania dużego okręgu i wyznaczasz dwa punkty jakie to spełnią, czyli te co leżą na okręgu i na podanej tu prostej.

Nas interesuje punkt o obu współrzędnych ujemnych - czyli podany wyżej.

Ponieważ kąt nie wychodzi ,,ładny" bo ok 36 stopni (przynajmniej tak mi wyszło) to można go wyznaczyć np prowadząc wysokość trójkąta równoramiennego do podstawy i wykorzystując trójkąt prostokątny (połowa EGC).

Fuspepro · Post autor: **Fuspepro** » 30 gru 2018, o 21:05

Masz rację znowu, moje nie dopatrzenie. Punkt \(\displaystyle{ E}\) można wyznaczyć za pomocą równać obu dużych okręgów.
Dziękuję za pomoc.

-- 5 sty 2019, o 22:18 --

piasek101 pisze:

Jeszcze mam trudności z rozwiązaniem.
Jak najszybciej udowodnić, że kąt \(\displaystyle{ \alpha = 45°}\)°?
Obliczyłem punkt \(\displaystyle{ E}\). Mam pomysł, żeby obliczyć dokładnie wszystkie boki trójkąta ze wzoru Herona, później wyliczyć kąt ze wzoru na pole trójkąta (gdzie znajdują się 2 boki i sinus kąta przeciwległego). Bo tak od razu napisałeś, że \(\displaystyle{ \alpha = 45}\)°. A ja nie umiem tego zauważyć.
Bo, żeby\(\displaystyle{ \alpha = 45}\)° to chyba \(\displaystyle{ |AE|=|GE|}\), a tak chyba nie jest.-- 5 sty 2019, o 23:18 --Zamykam temat.
Powodem jest źle rozpatrzone zadanie na samym początku.
Dziękuję za wszelką pomoc.

Matematyka.pl