Dwusieczne kątów

[max123321]

Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają przeciwległe boki tego trójkąta odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D,E}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ AE+BD=AB}\), wyznaczyć miarę kąta \(\displaystyle{ ACB}\).

Wskazówka jest, aby odbić punkt \(\displaystyle{ E}\) symetrycznie wzlgędem prostej \(\displaystyle{ AD}\) i punkt \(\displaystyle{ D}\) symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ BE}\) i uzasadnić, że otrzymane punkty pokrywają się. To akurat umiem wykazać, ale nie widzę dalej jak rozwiązać to zadanie. Prośba o pomoc.

[anna_]

\(\displaystyle{ AD'E}\) jest równoramienny. Dwusieczna kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) zawiera więc jego wysokość. \(\displaystyle{ ED'}\) to jego podstawa.

Czyli trójkąt \(\displaystyle{ D'DE}\) też musi być równoramienny.
\(\displaystyle{ |ED|=|DD'|}\)


\(\displaystyle{ D'BD}\) jest równoramienny. Dwusieczna kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) zawiera więc jego wysokość. \(\displaystyle{ D'D}\) to jego podstawa.

Czyli trójkąt \(\displaystyle{ D'DE}\) też musi być równoramienny.
\(\displaystyle{ |ED'|=|ED|}\)

Z tego wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ D'DE}\) jest równoboczny.
\(\displaystyle{ |\angle ED'D|=\alpha+\beta=60^o}\)