Stosunek pola prostokąta do trójkąta

[witia1990]

W prostokącie, w którym stosunek długości boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) jest równy \(\displaystyle{ 4:3}\), poprowadzono dwusieczne kątów \(\displaystyle{ ADB}\) i \(\displaystyle{ BDC}\). Dwusieczne te przecinają boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\). Oblicz stosunek pola prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ DKM}\).

Przyjąłem, że:
\(\displaystyle{ |AB|=4x, |BC|=3x, x>0}\)

Wyznaczyłem pole prostokąta i trójkąta:
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=12x^{2} \\
P_{DKM}=12x^{2} \cdot \tg ( 22,5^{\circ})}\)

Wyznaczyłem wartość \(\displaystyle{ \tg ( 22,5^{\circ})}\):
\(\displaystyle{ \tg ( 22,5^{\circ})= \sqrt{2}-1}\)

Stąd szukany stosunek wyszedł
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}+1 }{1} \approx \frac{2,41}{1}}\)

W odpowiedziach mam podane
\(\displaystyle{ \frac{12}{5}=2,4}\)

Zatem blisko, ale nie wiem gdzie popełniłem błąd?

[janusz47]

Błąd popełniłeś w obliczeniu pola trójkąta \(\displaystyle{ DKM.}\)

W dowolnym prostokącie przekątne nie są dwusiecznymi kątów prostych (tylko w kwadracie).

W obliczeniu tego pola proponuję skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ P_{\Delta DKM} =\frac{1}{2} |DK|\cdot |DM|\cdot \sin(\angle KDM) =\frac{1}{2} |DK|\cdot |DM|\cdot \sin(45^{o}).}\)

[witia1990]

Błąd popełniłeś w obliczeniu pola trójkąta \(\displaystyle{ DKM.}\)

W dowolnym prostokącie przekątne nie są dwusiecznymi kątów prostych (tylko w kwadracie).

To prawda. Bardzo dziękuję za tę uwagę. Głupi błąd z mojej strony.