Punkt I jest środkiem okręgu

[max123321]

Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ I}\) i prostopadła do prostej \(\displaystyle{ CI}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BPI}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ AI}\).

Jak to zrobić? Jakieś wskazówki?

[karolex123]

zobacz, że aby wykazać tezę wystarczy okazać, że \(\displaystyle{ \angle IBP = \angle PIX}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest punktem leżącym na prostej \(\displaystyle{ AI}\), po drugiej stronie punktu \(\displaystyle{ I}\), względem \(\displaystyle{ A}\)

[max123321]

Aha no faktycznie. Dzięki tej wskazówce chyba wiem jak to dalej zrobić. Robię tak:
Niech \(\displaystyle{ \angle ABC = 2\beta,\angle BCA = 2\gamma,\angle CAB = 2\alpha}\). Chodzi o to by pokazać, że kąt \(\displaystyle{ \angle PIX = \beta}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest tak jak napisałeś tylko należy do odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Kąt \(\displaystyle{ \angle AXB=180-\alpha-2\beta}\) z trójkąta \(\displaystyle{ ABX}\). Kąt \(\displaystyle{ \angle IPX = 90-\gamma}\) z trójkąta \(\displaystyle{ PIC}\). Kąt \(\displaystyle{ \angle AXC = \alpha+2\beta}\) bo jest przyległy do \(\displaystyle{ AXB}\). Zatem w trójkącie \(\displaystyle{ AXC}\) zachodzi \(\displaystyle{ \alpha+\alpha+2\beta+2\gamma=180}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=90}\) czyli \(\displaystyle{ \gamma=90-\beta-\alpha}\). Czyli interesujący nas kąt \(\displaystyle{ \angle PIX = 180-180+\alpha+2\beta-90+\gamma}\). I po wstawieniu \(\displaystyle{ \gamma}\) do tego otrzymujemy: \(\displaystyle{ \angle PIX = 180-180+\alpha+2\beta-90+\gamma=\alpha+2\beta+\gamma-90=\alpha+2\beta+90-\beta-\alpha-90=\beta}\) co należało wykazać. Tak jest dobrze?

[karolex123]

nie ma błędu
Ale masz szybszy rachunek: \(\displaystyle{ \angle PIX=90^{\circ}- \angle CIX=90^{\circ}- \alpha - \gamma=\beta}\)