W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ AC=BC}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ CM}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) będą rzutami prostokątnymi punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) leżą na jednej prostej.
To zadanie pasuje do twierdzenia o prostej Simsona. Jeśli przedłużymy prostą \(\displaystyle{ DK}\) do przecięcia z prostą \(\displaystyle{ AB}\) i oznaczymy punkt przecięcia jako \(\displaystyle{ K'}\), oraz \(\displaystyle{ LD}\) także przedłużymy do przecięcia z \(\displaystyle{ AB}\) i punkt przecięcia oznaczymy \(\displaystyle{ M}\)' to otrzymamy trójkąt \(\displaystyle{ DK'M'}\) i wówczas punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) będą rzutami punktu \(\displaystyle{ C}\) na odpowiednie proste zawierające boki trójkąta \(\displaystyle{ DK'M'}\). Wystarczyłoby zatem pokazać, że na czworokącie \(\displaystyle{ DK'M'C}\) można opisać okrąg. Niestety nie wiem jak to zrobić.
Ma może ktoś jakieś wskazówki jak dokończyć to rozumowanie, albo jakiś inny pomysł na to zadanie?
A nie, dobra, głupoty gadam, sory. Chodzi oczywiście o trójkąt \(\displaystyle{ AK'D}\), a punkt \(\displaystyle{ M'}\) jest zupełnie niepotrzebny. Teraz mogę dokończyć rozumowanie. \(\displaystyle{ K'}\) jest punktem przecięcia \(\displaystyle{ AB}\) z \(\displaystyle{ DK}\). Niech kąt \(\displaystyle{ ABC}\) będzie równy \(\displaystyle{ \alpha}\) .Wówczas kąt \(\displaystyle{ KK'B}\) będzie równy \(\displaystyle{ 90-\alpha}\) . Czyli kąt \(\displaystyle{ AK'D}\) będzie równy \(\displaystyle{ 90+\alpha}\) . Popatrzmy teraz na trójkąt \(\displaystyle{ AMC}\). Kąt \(\displaystyle{ MAC}\) jest równy też \(\displaystyle{ \alpha}\) bo to trójkąt równoramienny. Zatem \(\displaystyle{ ACD}\) będzie równy \(\displaystyle{ 90-\alpha}\) . Czyli naprzemienne kąty \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ AK'D}\) sumują się do \(\displaystyle{ 180}\) stopni, zatem na czworokącie \(\displaystyle{ AK'DC}\) można opisać okrąg, co daje tezę. Szukana prosta jest prostą Simsona.
Może ktoś potwierdzić czy takie rozwiązanie jest dobre?