W czworokącie ABCD

[max123321]

W czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) kąt \(\displaystyle{ BAD}\) jest prosty. Wykazać, że obwód trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) jest większy lub równy od \(\displaystyle{ 2AC}\).

Jakieś wskazówki? Jak to zrobić?

[karolex123]

Wskazówka: popatrz na środek odcinka \(\displaystyle{ BD}\). Skorzystaj w rozumowaniu z nierówności trójkąta

[max123321]

Hmm no chyba widzę do czego zmierzasz. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ BD}\). Wówczas \(\displaystyle{ AC \le AS+SC}\). Z pewnego twierdzenia dla trójkąta prostokątnego zachodzi \(\displaystyle{ AS=DS}\) i \(\displaystyle{ 2AS=DB}\). Wystarczy zatem pokazać, że środkowa \(\displaystyle{ SC}\) jest zarówno mniejsza od boku \(\displaystyle{ BC}\) jak i \(\displaystyle{ DC}\). Niestety nie wiem jak to dalej rozwiązać. Potrzebuję dalszej wskazówki.

[karolex123]

Raczej pokaż, że \(\displaystyle{ SC \le \frac{1}{2}\left( BC + DC \right)}\)