Dany jest romb ABCD

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Dany jest romb ABCD

Post autor: max123321 »

Dany jest romb \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ BCD=60}\) stopni. Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\), przy czym \(\displaystyle{ BP=2,CP=3,DP=1}\). Wyznaczyć miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach \(\displaystyle{ AP,BP,DP}\).

Jak to zrobić?
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: karolex123 »

wskazówka: rozważ obrót płaszczyzny o \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wokół puntu \(\displaystyle{ B}\); w szczególności popatrz na obraz punktu \(\displaystyle{ P}\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: max123321 »

No tak punkt \(\displaystyle{ P}\) przejdzie na \(\displaystyle{ P'}\) tak, że trójkąt \(\displaystyle{ PP'B}\) będzie równoboczny o boku \(\displaystyle{ 2}\). Ponadto odległość \(\displaystyle{ P'C}\) będzie taka jak \(\displaystyle{ DP}\) bo to obrót czyli \(\displaystyle{ 1}\). A zatem punkt \(\displaystyle{ P'}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ CP}\). No i teraz interesują nas kąty trójkąta \(\displaystyle{ PP'D}\), bo \(\displaystyle{ PD=1,PP'=2,DP'=AP}\), jednak nie wiem jak się dobrać do kątów tego trójkąta. Jak pójść z tym dalej?
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: karolex123 »

Ok, dobrze na to patrzysz
Teraz popatrz na trójkąt \(\displaystyle{ BPD}\). Co jest jego obrazemw tym obrocie?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: max123321 »

No obrazem trójkąta \(\displaystyle{ BPD}\) będzie trójkąt \(\displaystyle{ BP'C}\) jednak nie wiem zbytnio co dalej.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: karolex123 »

Jaka jest miara kąta \(\displaystyle{ BP'C}\)?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: max123321 »

Aha no faktycznie! Ten kąt ma \(\displaystyle{ 120}\) stopni czyli kąt \(\displaystyle{ DPP'}\) ma \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Czyli mamy interesujący nas trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) i kącie \(\displaystyle{ 60}\) stopni między nimi. No okej, a jak wyznaczyć pozostałe kąty? Widzę, że z twierdzenia kosinusów można policzyć długość trzeciego boku, ale czy nie można jakoś prościej wyznaczyć tych kątów?
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: karolex123 »

Można to zrobić według mnie ładniej i bardziej elegancko
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\). Poprowadź odcinek \(\displaystyle{ DM}\). Teraz wszystko powinno być widoczne
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: max123321 »

A no dobre! Faktycznie teraz widzę, trójkąt \(\displaystyle{ PMD}\) będzie równoboczny, a trójkąt \(\displaystyle{ DMP'}\) będzie równoramienny, kąt \(\displaystyle{ DMP'=120}\) stopni, czyli kąt \(\displaystyle{ PDP'}\) jest prosty. Czyli ostateczny ten trójkąt o który chodzi w zadaniu ma kąty \(\displaystyle{ 30,60,90}\) stopni.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Dany jest romb ABCD

Post autor: karolex123 »

Zgadza się
ODPOWIEDZ