Ogniskowa elipsy
-
camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
Ogniskowa elipsy
Jak wyznaczyć ten wzór na ognisko w elipsie: \(\displaystyle{ p=a(1-e^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\)-ogniskowa, \(\displaystyle{ a}\)-półoś wielka, \(\displaystyle{ e}\)-mimośród, korzystając z krzywej stożkowej?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Ogniskowa elipsy
\(\displaystyle{ p = a\cdot (e^2 - 1)}\)
Definicja krzywej stożkowej
Krzywą stożkową na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \RR^2}\) nazywamy miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek odległości od pewnego punktu zwanego ogniskiem do odległości od pewnej prostej kierownicą jest stały (nazywa się on mimośrodem).
Rysunek krzywej stożkowej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0).}\)
\(\displaystyle{ (x_{0}, 0) -}\) współrzędne ogniska
\(\displaystyle{ (-x_{k}, 0 ) -}\) współrzędne kierownicy (prostej równoległej do osi \(\displaystyle{ Oy}\)).
Zgodnie z podaną wyżej definicją stożkowej
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{(x -x_{0})^2 +y^2}}{ \sqrt{x - (-x_{k}))^2}}= e \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ e}\) - mimośród.
\(\displaystyle{ (x, y)}\) - współrzędne dowolnego punktu leżącego na krzywej.
Zauważmy, że punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) leży na krzywej, a więc
\(\displaystyle{ \frac{x_{o}}{x_{k}} = e \ \ (2)}\)
Odległość ogniska od kierownicy oznaczamy przez \(\displaystyle{ d = x_{0}+x_{k}}\)
Równanie (1) podnosimy stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ (x - x_{0})^2 +y^2 = e^2( x +x_{k})^2}\)
Przekształcając je, mamy:
\(\displaystyle{ y^2 - 2x(x_{0}+e^2x_{k})= (e^2 -1)x^2 +( e^2 x^2_{k} - x^2_{0}) \ \ (3)}\)
Ze wzoru \(\displaystyle{ (2)}\) wynika, że ostatni człon równania \(\displaystyle{ (3)}\) zeruje się oraz
\(\displaystyle{ (x_{0} +e^2 x_{k})= e\left( \frac{x_{0}}{e}+ e x_{k}\right) = e(x_{0}+x_{k})= e\cdot d \ \ (4)}\)
Oznaczmy iloczyn \(\displaystyle{ e\cdot d = p}\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (4)}\) otrzymujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ y^2 - 2p\cdot x = (e^2 -1)\cdot x^2 \ \ (5)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (5)}\) nazywamy równaniem wierzchołkowym stożkowej.
Dla \(\displaystyle{ e= 1}\) mamy równanie paraboli:
\(\displaystyle{ y^2 = 2p\cdot x}\)
Dla \(\displaystyle{ e\neq 1}\) znajdziemy nowy układ współrzędnych, w którym równanie ma jeszcze prostszą postać.
Pomysł polega na uzupełnieniu do pełnych kwadratów:
\(\displaystyle{ y^2 = (e^2 -1)\left[ x^2 +\frac{2p\cdot x}{e^2 -1}+\left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2 - \left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2 \right] =(e^2 -1) \left(x +\frac{p}{e^2-1}\right)^2 +\\ -\frac{p^2}{e^2- 1} \ \ (6)}\)
Dokonując translacji (przesunięcia) układu współrzędnych:
\(\displaystyle{ x^{'} = x +\frac{p}{e^2 -1},}\)
\(\displaystyle{ y^{'} = y.}\)
W nowym układzie współrzędnych równanie \(\displaystyle{ (6)}\) ma postać:
\(\displaystyle{ y^{'}^2 =( e^2 -1)x^{'}- \frac{p^2}{e^2 -1} \ \ (7)}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{x^{'}^2}{\left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2}- \frac{y^{'}^2}{\frac{p^2}{e^2- 1}}= 1 \ \ (8)}\)
Mianownik równania \(\displaystyle{ (8)}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ e> 1}\) (hiperbola) i ujemny gdy \(\displaystyle{ e < 1}\) (elipsa)
Wprowadźmy parametr \(\displaystyle{ \epsilon =1}\) - dla elipsy \(\displaystyle{ \epsilon = -1}\) - dla hiperboli oraz oznaczenia:
\(\displaystyle{ a^2 = \left( \frac{p}{e^2 -1}\right)^2}\) i \(\displaystyle{ -\epsilon\cdot b^2=\frac{p^2}{e^2-1}}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left(\frac{x'}{a}\right)^2 + \epsilon b\left( \frac{y^{'}}{b}\right)^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ a =\frac{p}{e^2 -1} \ \ (9)}\)
\(\displaystyle{ b = \sqrt{\frac{p}{|e^2 -1|}}, \ \ p= e\cdot d =e(x_{0}+x_{k}).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (9)}\) na półoś wielką elipsy:
\(\displaystyle{ p = a\cdot (e^2 - 1)}\)
Co mieliśmy wykazać.
Proszę zmienić kolejność elementów na \(\displaystyle{ p = a\cdot (e^2 - 1),}\) bo \(\displaystyle{ a > 0.}\)
Definicja krzywej stożkowej
Krzywą stożkową na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \RR^2}\) nazywamy miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek odległości od pewnego punktu zwanego ogniskiem do odległości od pewnej prostej kierownicą jest stały (nazywa się on mimośrodem).
Rysunek krzywej stożkowej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0).}\)
\(\displaystyle{ (x_{0}, 0) -}\) współrzędne ogniska
\(\displaystyle{ (-x_{k}, 0 ) -}\) współrzędne kierownicy (prostej równoległej do osi \(\displaystyle{ Oy}\)).
Zgodnie z podaną wyżej definicją stożkowej
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{(x -x_{0})^2 +y^2}}{ \sqrt{x - (-x_{k}))^2}}= e \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ e}\) - mimośród.
\(\displaystyle{ (x, y)}\) - współrzędne dowolnego punktu leżącego na krzywej.
Zauważmy, że punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) leży na krzywej, a więc
\(\displaystyle{ \frac{x_{o}}{x_{k}} = e \ \ (2)}\)
Odległość ogniska od kierownicy oznaczamy przez \(\displaystyle{ d = x_{0}+x_{k}}\)
Równanie (1) podnosimy stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ (x - x_{0})^2 +y^2 = e^2( x +x_{k})^2}\)
Przekształcając je, mamy:
\(\displaystyle{ y^2 - 2x(x_{0}+e^2x_{k})= (e^2 -1)x^2 +( e^2 x^2_{k} - x^2_{0}) \ \ (3)}\)
Ze wzoru \(\displaystyle{ (2)}\) wynika, że ostatni człon równania \(\displaystyle{ (3)}\) zeruje się oraz
\(\displaystyle{ (x_{0} +e^2 x_{k})= e\left( \frac{x_{0}}{e}+ e x_{k}\right) = e(x_{0}+x_{k})= e\cdot d \ \ (4)}\)
Oznaczmy iloczyn \(\displaystyle{ e\cdot d = p}\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (4)}\) otrzymujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ y^2 - 2p\cdot x = (e^2 -1)\cdot x^2 \ \ (5)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (5)}\) nazywamy równaniem wierzchołkowym stożkowej.
Dla \(\displaystyle{ e= 1}\) mamy równanie paraboli:
\(\displaystyle{ y^2 = 2p\cdot x}\)
Dla \(\displaystyle{ e\neq 1}\) znajdziemy nowy układ współrzędnych, w którym równanie ma jeszcze prostszą postać.
Pomysł polega na uzupełnieniu do pełnych kwadratów:
\(\displaystyle{ y^2 = (e^2 -1)\left[ x^2 +\frac{2p\cdot x}{e^2 -1}+\left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2 - \left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2 \right] =(e^2 -1) \left(x +\frac{p}{e^2-1}\right)^2 +\\ -\frac{p^2}{e^2- 1} \ \ (6)}\)
Dokonując translacji (przesunięcia) układu współrzędnych:
\(\displaystyle{ x^{'} = x +\frac{p}{e^2 -1},}\)
\(\displaystyle{ y^{'} = y.}\)
W nowym układzie współrzędnych równanie \(\displaystyle{ (6)}\) ma postać:
\(\displaystyle{ y^{'}^2 =( e^2 -1)x^{'}- \frac{p^2}{e^2 -1} \ \ (7)}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{x^{'}^2}{\left(\frac{p}{e^2-1}\right)^2}- \frac{y^{'}^2}{\frac{p^2}{e^2- 1}}= 1 \ \ (8)}\)
Mianownik równania \(\displaystyle{ (8)}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ e> 1}\) (hiperbola) i ujemny gdy \(\displaystyle{ e < 1}\) (elipsa)
Wprowadźmy parametr \(\displaystyle{ \epsilon =1}\) - dla elipsy \(\displaystyle{ \epsilon = -1}\) - dla hiperboli oraz oznaczenia:
\(\displaystyle{ a^2 = \left( \frac{p}{e^2 -1}\right)^2}\) i \(\displaystyle{ -\epsilon\cdot b^2=\frac{p^2}{e^2-1}}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left(\frac{x'}{a}\right)^2 + \epsilon b\left( \frac{y^{'}}{b}\right)^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ a =\frac{p}{e^2 -1} \ \ (9)}\)
\(\displaystyle{ b = \sqrt{\frac{p}{|e^2 -1|}}, \ \ p= e\cdot d =e(x_{0}+x_{k}).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (9)}\) na półoś wielką elipsy:
\(\displaystyle{ p = a\cdot (e^2 - 1)}\)
Co mieliśmy wykazać.
Proszę zmienić kolejność elementów na \(\displaystyle{ p = a\cdot (e^2 - 1),}\) bo \(\displaystyle{ a > 0.}\)