Złożenie jednokładności

[max123321]

Wykaż, że złożenie jednokładności o środku \(\displaystyle{ O_1}\) i skali \(\displaystyle{ k_1}\) z jednokładnością o środku \(\displaystyle{ O_2 \neq O_1}\) i skali \(\displaystyle{ k_2\neq \frac{1}{k_2}}\) jest jednokładnością o środku na prostej \(\displaystyle{ O_1O_2}\).

Może ktoś podać jakieś wskazówki jak to zrobić?

[a4karo]

\(\displaystyle{ f_1(X)=O_1+k_1(X-O_1), \ f_2(X)=O_2+k_1(X-O_2)}\)

\(\displaystyle{ f_2\circ f_1(X)=f_2(O_1+k_1(X-O_1))=O_2+k_2(O_1+k_1(X-O_1)=P+\lambda(X-P)}\)

Wyznacz stąd \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ \lambda}\)

[max123321]

Znaczy chyba tutaj zrobiłeś kilka literówek, powinno być chyba tak:
\(\displaystyle{ f_1(X)=O_1+k_1(X-O_1), \ f_2(X)=O_2+k_2(X-O_2)}\)
\(\displaystyle{ f_2\circ f_1(X)=f_2(O_1+k_1(X-O_1))=O_2+k_2(O_1+k_1(X-O_1)-O_2)=P+\lambda(X-P)}\)
,ale mniej więcej rozumiem o co chodzi tylko nie wiem jak to przekształcić. Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ P=O_1+ \frac{k_2-1}{k_1k_2-1}(O_2-O_1)}\), ale nie wiem jak to przekształcić. Potrzebuję dalszych wskazówek.

[a4karo]

Jest OK
Jak napiszesz to w postaci
\(\displaystyle{ P+\frac{(k_1k_2-k_2)O_1+(k_2-1)O_2}{k_1k_2-1}}\), to zobaczysz, że współczynniki przy \(\displaystyle{ O_1}\)i \(\displaystyle{ O_2}\) sumują się do \(\displaystyle{ 1}\), a to oznacza, żę \(\displaystyle{ P}\) znajduje się na prostej przechodzącej przez oba te punkty.

[max123321]

Ok rozumiem, a możesz napisać jak z tych Twoich równań przekształcić to tak, żeby dostać to \(\displaystyle{ P}\)? Bo ja to geometrycznie próbowałem rozwiązywać, ale chciałbym zobaczyć jak to algebraicznie zrobić z tych Twoich równań.

[a4karo]

Doszedłeś do
\(\displaystyle{ O_2+k_2(O_1+k_1(X-O_1)-O_2)=P+\lambda(X-P)}\)
Stad
\(\displaystyle{ O_2+k_2O_1+k_1k_2X-k_1k_2O_1-k_2O_2=\lambda X+(1-\lambda)P}\)

Skoro toto ma zachodzić dla wszystkich \(\displaystyle{ X}\), to współczynniki przy \(\displaystyle{ X}\) po obu stronach muszą być takie same. Stąd dostaniesz \(\displaystyle{ \lambda}\). Dalej algebra

[max123321]

No ok, w takim razie: \(\displaystyle{ \lambda=k_1k_2}\) i doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ k_1k_2X+(1-k_1k_2)O_1+(O_2-O_1)(1-k_2)=\lambda X+(1-\lambda)P}\)
i co dalej z tym?

[a4karo]

To Isky się skrócą, z a\(\displaystyle{ \Lambda}\) wstawisz \(\displaystyle{ k_1k_1}\) i wyliczasz \(\displaystyle{ P}\)

[max123321]

No faktycznie wyszło dobrze. Dzięki. Czyli najpierw pokazujemy, że skoro istnieją takie współczynniki \(\displaystyle{ \lambda, P}\) to to złożenie jest jednokładnością tak?

A potem, że \(\displaystyle{ P}\) jest kombinacją afiniczną punktów \(\displaystyle{ O_1,O_2}\). Czy taka kombinacja afiniczna jest prostą zawsze?

[a4karo]

Po prostu odwzorowanie \(\displaystyle{ X\to P+\lambda(X-P)}\) jest jednokładnością o środku \(\displaystyle{ P}\).

Tak, kombinacje afiniczne punktów tworzą prostą.