Katy wewnętrzne czworokąta

[niuka_25]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

W pewnym czworokącie największy kąt o \(\displaystyle{ 180^{o}}\) większy od najmniejszego, a różnica między miarami pozostałych dwóch kątów jest równa \(\displaystyle{ 80^{o}}\). Ile kątów ostrych może mieć ten czworokąt?

Z moich rozważań wynika, że dwa spośród czterech kątów są ostre. Zastanawiam się, czy trzeci kąt będzie również kątem ostrym?

Z moich obliczeń wynikają następujące miary kątów:

\(\displaystyle{ 20^{o}}\)

\(\displaystyle{ 30^{o}}\)

\(\displaystyle{ 110^{o}}\)

\(\displaystyle{ 200^{o}}\)

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ \alpha +( \alpha +180 ^{\circ})+ \beta +( \beta +80 ^{\circ} )=360 ^{\circ}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \alpha + \beta =50 ^{\circ}}\)

przy czym \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) to są te najmniejsze kąty.
Więc kąty niekoniecznie musza mieć takie miary jak podałaś(choć też takie mogą).
Pytanie jest czy \(\displaystyle{ \beta +80 ^{\circ}}\) może być kątem ostrym.

[niuka_25]

Myślę, że kąt o którym piszesz może być kątem ostrym. Dobrze rozumuję?

Czyli w takim razie ten czworokąt może mieć trzy kąty ostre?

[kmarciniak1]

Właśnie okazuje, się, że nie może być ostry, bo musimy pamiętać o jeszcze jednym warunku.
A mianowicie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest najmniejszy, więc skoro \(\displaystyle{ \alpha < \beta}\) to \(\displaystyle{ \beta >25 ^{\circ}}\) czyli \(\displaystyle{ \beta +80 ^{\circ}>105 ^{\circ}}\)

[niuka_25]

Ok, czyli w takim razie tylko dwa kąty będą ostre.
Dziękuję za pomoc!