Długość odcinka

[matematykipatyk]

Dane są trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i prosta \(\displaystyle{ k}\) styczna w punkcie \(\displaystyle{ A}\) do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta \(\displaystyle{ BC}\) przecina prostą \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Długości odcinków \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ PB}\) zostały podane w na rysunku. Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\).

Link do rysunku

[kerajs]

Stosując twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt mam
\(\displaystyle{ \left| AP\right|^2=17 \cdot (17+9) \Rightarrow \left| AP\right|= \sqrt{442}}\)
Z tw. kosinusów:
\(\displaystyle{ \left| AB\right|^2=(\sqrt{442})^2+17^2-2 \cdot 17 \cdot \sqrt{442} \cdot \cos P=\\
=(\sqrt{442})^2+17^2-2 \cdot 17 \cdot \sqrt{442} \cdot \frac{(\sqrt{442})^2+(17+9)^2-12^2}{2 \cdot \sqrt{442} \cdot (17+9)}}\)

[matematykipatyk]

A skąd mamy to ?

\(\displaystyle{ \cos P=\frac{(\sqrt{442})^2+(17+9)^2-12^2}{2 \cdot \sqrt{442} \cdot (17+9)}}\)

[karolex123]

to jest twierdzenie cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ APC}\)

[matematykipatyk]

A no tak.