Problem Fagnano

[max123321]

Punkty \(\displaystyle{ A,B}\) leżą po jednej stronie prostej \(\displaystyle{ k}\). Na prostej \(\displaystyle{ k}\) wyznaczyć taki punkt \(\displaystyle{ C}\), aby suma długości odcinków \(\displaystyle{ AC,BC}\) była możliwie najmniejsza.

Jakaś wskazówka? Jak do tego podejść?

[Zahion]

Odbij punkt \(\displaystyle{ A \rightarrow A'}\) symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ k}\) i niech \(\displaystyle{ C}\) będzie punktem na prostej \(\displaystyle{ A'B}\). Udowodnij, że to jest szukany punkt.

[max123321]

Nie wiem czy to dobrze zapisze, ale z grubsza chyba wiem o co chodzi. Odcinek \(\displaystyle{ A'B}\) to najkrótsza droga między \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B}\). Zatem suma odległości \(\displaystyle{ A'C+CB}\) to najmniejsza możliwa odległość między \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B}\). Ale \(\displaystyle{ AC=A'C}\) więc \(\displaystyle{ C}\) jest szukanym punktem, albowiem dla każdego innego punktu \(\displaystyle{ C'}\) odległość \(\displaystyle{ AC'+BC'=A'C'+B'C'>A'C+BC=AC+BC}\). Czy tak jest dobrze?

[zelazny8128]

Tak, o to chodzi