Punkty E i F

[max123321]

Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ DA}\) i \(\displaystyle{ AB}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\), przy czym \(\displaystyle{ AE=BF}\). Proste \(\displaystyle{ CE,CF}\) przecinają przekątną \(\displaystyle{ BD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P,Q}\). Dowieść, że z odcinków o długościach \(\displaystyle{ DP,PQ,QB}\) można zbudować trójkąt i miara jednego z kątów tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 60}\) stopni.

Jakieś wskazówki?

[matmatmm]

Teza wygląda mi ewidentnie na nieprawdziwą. Jeśli punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są bardzo blisko \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ B}\), to długości \(\displaystyle{ DP}\) i \(\displaystyle{ QB}\) są bliskie zeru.

Oznaczając \(\displaystyle{ a=AB}\) oraz \(\displaystyle{ x=AE}\), wyszło mi, że trójkąt można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x<\frac{2}{3}a}\), a kąt jest równy \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AD}\).

[max123321]

Ale punkty \(\displaystyle{ E,F}\) nie mogą być jednocześnie bardzo blisko \(\displaystyle{ D,B}\) bo to odcinki \(\displaystyle{ AE=BF}\) mają być równe, czyli jak \(\displaystyle{ E}\) jest bliskie \(\displaystyle{ D}\) to \(\displaystyle{ F}\) będzie daleko od \(\displaystyle{ B}\).

[matmatmm]

Racja. Rozwiązałem to zadanie przy założeniu \(\displaystyle{ AE=AF}\). Mój błąd.