W czworokącie wypukłym

[max123321]

W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątne \(\displaystyle{ AC,BD}\) są równej długości. Punkty \(\displaystyle{ M,N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AD,BC}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ MN}\) tworzy równe kąty z przekątnymi \(\displaystyle{ AC,BD}\).

No i charakterystyczne pytanie, co tu dorysować? Jakieś wskazówki?

[timon92]

dorysuj środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\)

[max123321]

No faktycznie! Od razu lepiej. W tego typu zadaniach problemy się zwykle rozchodzą o to co na początku dorysować. A ja mam z tym spore problemy. Teraz już raczej potrafię dokończyć to zadanie. Proszę o sprawdzenie:
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Odcinki \(\displaystyle{ MS}\) i \(\displaystyle{ NS}\) są odpowiednio liniami środkowymi trójkątów \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\), zatem są odpowiednio równe połowie przekątnej \(\displaystyle{ DB}\) i \(\displaystyle{ AC}\), ale te z założenia są równe, zatem trójkąt \(\displaystyle{ MNS}\) jest równoramienny i kąty \(\displaystyle{ SMN}\) i \(\displaystyle{ SNM}\) są równe, a te z kolei kąty są równe odpowiednio kątom o które pytają w zadaniu. Tak jest dobrze?

[timon92]

tak, dobrze, tylko warto jeszcze uzasadnić dlaczego kąty \(\displaystyle{ SMN}\) i \(\displaystyle{ SNM}\) są równe kątom, o które pytają w zadaniu

[max123321]

Ok, ponieważ z własności linii środkowej odcinek \(\displaystyle{ MS}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ DB}\) i oba one są przecięte odcinkiem \(\displaystyle{ MN}\) zatem jeden z kątów o które pytają w zadaniu i kąt \(\displaystyle{ NMS}\) to kąty odpowiadające zatem są równe. Analogicznie dla drugiego kąta.