Na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty \(\displaystyle{ BCDE}\) oraz \(\displaystyle{ CAFG}\). Punkty \(\displaystyle{ M,N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ DF,EG}\). Znając długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ MN}\).
Nie wiem za bardzo co tu dorysować. Dorysowałem odcinki \(\displaystyle{ GD}\) i \(\displaystyle{ FE}\) jednak nie widzę, żadnego przystawania trójkątów. Na pewno z zależności kątowych i twierdzenia kosinusów można znaleźć długości odcinków \(\displaystyle{ FD}\) i \(\displaystyle{ GE}\) jednak po pierwsze twierdzenie kosinusów to zbyt ciężka maszyneria tutaj, a po drugie nie wiadomo co z tego wynika. Proszę o jakieś wskazówki.
Na bokach trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Na bokach trójkąta
Podpowiedź:
Trójkąt \(\displaystyle{ FDG}\)
\(\displaystyle{ M}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ FD}\)
\(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GD}\)
\(\displaystyle{ |FG|=b}\)
Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.
\(\displaystyle{ MO \parallel FG \parallel AC}\)
\(\displaystyle{ |MO|=\frac{1}{2}b}\)
========================
Trójkąt \(\displaystyle{ GED}\)
\(\displaystyle{ N}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GE}\)
\(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GD}\)
\(\displaystyle{ |DE|=a}\)
\(\displaystyle{ ON \parallel DE \parallel BC}\)
\(\displaystyle{ |ON|=\frac{1}{2}a}\)
Trójkąt \(\displaystyle{ FDG}\)
\(\displaystyle{ M}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ FD}\)
\(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GD}\)
\(\displaystyle{ |FG|=b}\)
Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.
\(\displaystyle{ MO \parallel FG \parallel AC}\)
\(\displaystyle{ |MO|=\frac{1}{2}b}\)
========================
Trójkąt \(\displaystyle{ GED}\)
\(\displaystyle{ N}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GE}\)
\(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ GD}\)
\(\displaystyle{ |DE|=a}\)
\(\displaystyle{ ON \parallel DE \parallel BC}\)
\(\displaystyle{ |ON|=\frac{1}{2}a}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Na bokach trójkąta
No kurde dobre! Czyli z równoległości odpowiednich odcinków kąty \(\displaystyle{ MON}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) są te same. Jeśli zatem dorysujemy punkty \(\displaystyle{ H,I}\) będące środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AC,BC}\) to trójkąty \(\displaystyle{ MON}\) i \(\displaystyle{ HIC}\) są przystające zatem odcinek \(\displaystyle{ MN=HI=1/2|AB|=1/2c}\). Dobrze? Czy jest może jakieś lepsze uzasadnienie tego faktu? (staram się unikać podobieństwa).
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Na bokach trójkąta
Ja bym jednak brała podobieństwo. Wtedy nie trzeba dodatkowych punktów.
Skoro odpowiednie
\(\displaystyle{ MO \parallel AC}\)
i
\(\displaystyle{ ON \parallel BC}\)
to \(\displaystyle{ |\angle MON| =|\angle ACB|}\)
więc trójkąty są podobne, a skala podobieństwa to \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |MN|=\frac{1}{2}|AB|}\)
Skoro odpowiednie
\(\displaystyle{ MO \parallel AC}\)
i
\(\displaystyle{ ON \parallel BC}\)
to \(\displaystyle{ |\angle MON| =|\angle ACB|}\)
więc trójkąty są podobne, a skala podobieństwa to \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |MN|=\frac{1}{2}|AB|}\)