Na bokach czworokąta wypukłego

[max123321]

Na bokach \(\displaystyle{ AB,CD,CD,DA}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty, których środki oznaczono odpowiednio \(\displaystyle{ K,L,M,N}\). Wykazać, że odcinki \(\displaystyle{ KM,LM}\) są prostopadłe i mają równą długość.

No to robię tak: Dorysowałem przekątną \(\displaystyle{ DB}\) czworokąta i jest pewne twierdzenie które mówi, że środki kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta oraz środek trzeciego boku tworzą trójkąt równoramienny prostokątny, zatem niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ DB}\) i mamy, że kąt \(\displaystyle{ MSL}\)jest prosty i boki \(\displaystyle{ MS}\) i \(\displaystyle{ SL}\) są równe. Analogicznie boki \(\displaystyle{ NS}\) i \(\displaystyle{ SK}\) są równe i kąt \(\displaystyle{ NSK}\) jest prosty. Teraz ciekawe są trójkąty \(\displaystyle{ MKS}\) i \(\displaystyle{ NLS}\). Gdyby pokazać, że kąty \(\displaystyle{ NSL}\) i \(\displaystyle{ MSK}\) są równe to byśmy mieli przystawanie tych trójkątów zatem odcinki o które pytają w zadaniu byłyby równe i z tego że kąt \(\displaystyle{ MSL}\) jest prosty to można by jeden z tych trójkątów obrócić o \(\displaystyle{ 90}\) stopni, aby otrzymać drugi co dowodzi, że odcinki o które pytają w zadaniu przecinają się pod kątem prostym. Pytanie zatem jak udowodnić równość kątów \(\displaystyle{ MSK}\) i \(\displaystyle{ NSL}\)?

[anna_]

Na bokach \(\displaystyle{ AB,CD,CD,DA}\)

Możesz dodać rysunek i poprawić treść bo mi wyszło, że nie są prostopadłe.

[a4karo]

Umieśćmy czworokąt na płaszczyżnie zespolonej i niech \(\displaystyle{ A=z_1, B=z_2, C=z_3, D=z_4}\)

Obrót w prawo o \(\displaystyle{ \pi/4}\) to mnożenie przez \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)}\), zatem

\(\displaystyle{ K=z_1+\frac{\sqrt{2}}{2}(z_2-z_1)\varepsilon=\frac{1-i}{2}z_2+\frac{1+i}{2}z_1}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ u=\frac{1-i}{2}}\). Mamy \(\displaystyle{ iu=\bar{u}}\) oraz \(\displaystyle{ i\bar{u}=-u}\).

Mamy zatem
\(\displaystyle{ K=uz_2+\bar{u}z_1}\)
\(\displaystyle{ L=uz_3+\bar{u}z_2}\)
\(\displaystyle{ M=uz_4+\bar{u}z_3}\)
\(\displaystyle{ N=uz_1+\bar{u}z_4}\)

Stąd
\(\displaystyle{ M-K=uz_4+\bar{u}z_3-(uz_2+\bar{u}z_1)=u(z_4-z_2)+\bar{u}(z_3-z_1)}\)
oraz
\(\displaystyle{ N-L=uz_1+\bar{u}z_4-(uz_3+\bar{u}z_2)=u(z_1-z_3)+\bar{u}(z_4-z_2)}\)

Stąd \(\displaystyle{ i(M-K)=N-l}\) co dowodzi tezy, bo mnożenie przez \(\displaystyle{ i}\) to obrót o \(\displaystyle{ \pi/2}\)

[max123321]

Ajć literówkę zrobiłem, sorka. Powinno być oczywiście "Na bokach \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) czworokąta..." i potem jeszcze druga "Wykazać, że odcinki \(\displaystyle{ KM}\) i \(\displaystyle{ LN}\) są...". Niestety nie mogę już tego edytować.

a4karo tylko bez zespolonych mi tu...To ma być zadanie z geometrii i chciałbym zrobić je metodami geometrycznymi.

[matmatmm]

Na bokach \(\displaystyle{ AB,CD,CD,DA}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty, których środki oznaczono odpowiednio \(\displaystyle{ K,L,M,N}\). Wykazać, że odcinki \(\displaystyle{ KM,LM}\) są prostopadłe i mają równą długość.

Jest to szczególny przypadek zad. 1.51 ze zbioru Viktora Prasolova
PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY v.1 Plane Geometry

[anna_]

Tam będą 4 trójkąty prostokątne równoramienne, ale nie mam pomysłu jak to wykorzystać.

W sumie to to samo co zadanie 124 Zbiór do geometrii Pompego

[max123321]

Możecie mnie nie odsyłać do literatury tylko przedstawić tu dokończenie tego zadania? Chciałbym się dowiedzieć jak udowodnić równość kątów \(\displaystyle{ MSK}\) i \(\displaystyle{ NSL}\).

[matmatmm]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \angle MSK=\angle MSN +\angle NSK=\angle MSN+90=\angle MSN+\angle MSL=\angle NSL}\).

[max123321]

No faktycznie. Dzięki.