Skala podobieństwa wielokątów w sześciokącie foremnym

[419862391432]

W sześciokącie foremnym narysowano krótsze przekątne i otrzymano mniejszy sześciokąt. Podaj skalę podobieństwa większego wielokąta do mniejszego.

Jak zacząć to zadanie? Rysunek:

[karolex123]

Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza długość boku tego sześciokąta. Jaka jest długość jego krótszej przekątnej (to łatwe)? Następnie zobacz, że długość boku tego mniejszego sześciokąta stanowi jedną trzecią długości tej przekątnej

[Rafsaf]

Dowód tego co zobaczył (xD) user wyżej, gdybyś nie widział, właściwie opiera się na dwóch sprawach:

1. Ile wynosi kąt przy każdym wierzchołku? (jeśli nie pamiętasz, suma wszystkich kątów wielokąta to \(\displaystyle{ 180^\circ+(n-3)\cdot 180^\circ}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba boków)

2. Fakt że \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)(i inne przystające do \(\displaystyle{ ABC}\)) jest równoramienny, co w połączeniu z 1. pociąga za sobą równoramienność wszystkich mniejszych trójkątów wewnątrz \(\displaystyle{ ABC}\)

[419862391432]

Czyli długość krótszej przekątnej to \(\displaystyle{ 2a=3x}\)
\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \Delta BCG}\) na mocy "kkk"
\(\displaystyle{ \frac{2a}{a} = \frac{a}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2ax= a^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} a}\)
Czyli bok mniejszego sześciokąta ma długość równą \(\displaystyle{ \frac{3}{2} a}\)
Więc \(\displaystyle{ \frac{a}{ \frac{3}{2}a } =k}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{2}{3} a}\)
A odpowiedź to \(\displaystyle{ k= \sqrt{3}}\)
Gdzie popełniłem błąd?

Rysunek:

[karolex123]

Nie wyszło Ci, ponieważ długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku \(\displaystyle{ a}\) nie jest równa \(\displaystyle{ 2a}\), tylko \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\)