Proste i punkty

[pattom]

Proszę o pomoc.

Obliczyć ile prostych przechodzących przez 2 różne punkty można poprowadzić dla 20 różnych punktów, z których każde 3 są niewspółliniowe.

[kerajs]

\(\displaystyle{ {20 \choose 2}=190}\)

[pattom]

Ok, a nie z kombinatoryki?

Jak wytłumaczyć to 7-8 klasie SP?

\(\displaystyle{ p= \frac{x \cdot (x-1)}{2}}\)

\(\displaystyle{ p}\) - ilość prostych
\(\displaystyle{ x}\) - ilość punktów

Jak to prościej wyjaśnić?

[karolex123]

Można powiedzieć tak: z każdą prostą utożsamiamy parę różnych punktów spośród danych \(\displaystyle{ 20}\); jeden z punktów możemy więc wybrać na \(\displaystyle{ 20}\) sposobów, drugi już tylko na \(\displaystyle{ 20-1=19}\) sposobów (punkty muszą być różne). Ilość tych par jest więc równa \(\displaystyle{ 20 \cdot 19}\). Ale prostą \(\displaystyle{ AB}\) utożsamiamy z prostą \(\displaystyle{ BA}\), zatem wszystkich prostych zliczyliśmy \(\displaystyle{ 2}\) razy więcej. Ostatecznie ilość prostych jest równa \(\displaystyle{ \frac{20 \cdot 19}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ {20 \choose 2}}\) (mamy bowiem gwarancję, że żadne z tych prostych się już nie powtarzają, gdyż żadne z trzech punktów nie są współliniowe)