Niech \(\displaystyle{ \angle PCE = \alpha}\). Trójkąt \(\displaystyle{ CPE}\) jest równoramienny, więc \(\displaystyle{ \angle PEC = \alpha}\). Ponadto: \(\displaystyle{ \angle HAP=\angle CAH - 45^{\circ}=45^{\circ} -\angle ACH=\angle PCE=\alpha}\). Skoro dodatkowo trójkąt \(\displaystyle{ APE}\) jest równoboczny, to punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ E}\) okazują się być symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ PH}\), skąd natychmiast wniosek, że \(\displaystyle{ PH}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ AE}\), a więc i dwusieczną kąta \(\displaystyle{ APE}\)
Ale teza nie jest prawdziwa dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) co można stwierdzić rysunkiem, stąd zadano miary kątów \(\displaystyle{ \angle ABC = 30^o \ i \ \angle AEC = 45^o}\) dla których ma być prawdziwa.
Wtedy kąt \(\displaystyle{ \angle ECB = 15^o}\)
Zauważamy, że: \(\displaystyle{ \angle ECB = \angle PAH}\) jako kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych.
Kąt \(\displaystyle{ \angle CEP}\) ma miare \(\displaystyle{ 15^o}\) co wynika z różnicy miar kątów \(\displaystyle{ \angle AEP = 60^o
\ i \ \angle AEC = 45^o}\)
Stąd \(\displaystyle{ \Delta CEP}\) jest równoramienny o kątach przy podstawie miary \(\displaystyle{ 15^o}\),
zaś trójkąt \(\displaystyle{ \Delta AEH}\) prostokątnym i równoramiennym o kątach przy podstawie miary \(\displaystyle{ 45^o}\)
Jeżli zauważymy, że trójkąty \(\displaystyle{ \Delta APE \ i \ \Delta AHE}\) są równoramienne (równoramiennym jest i równoboczny) o tej samej podstawie \(\displaystyle{ AE}\) , to zauważymy, że spodki ich wysokości połowią podstawę i przynależą do prostej do której przynależą spodki wysokości i wierzchołki tych trójkątów - punkty \(\displaystyle{ P \ i \ H}\) połowiącą kąty tych wierzchołków, co oznacza prawdziwość tezy.
