Znalezienie miary kąta w okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 9 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Mam problem, uczennica na korepetycjach zapodała mi takie zadanko, gdzie trzeba obliczyć miarę kąta zaznaczonego na czerwono. Skorzystałem z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg, wszystko ładnie pięknie, tylko... Uczennica (2 klasa LO, poziom rozszerzony) nie miała jeszcze tego twierdzenia, będzie je miała za jakieś 2-3 miesiące
Czy ktoś z Was widzi jakiś inny sposób na to? Bo ja to z geometrii zawsze idę najprostszą drogą, strasznie nie lubię mieć związanych rąk Oczywiście podałem jej potrzebne twierdzenie, ale obiecałem, że pomyślę nad rozwiązaniem przystępnym dla niej
Z góry dziękuję za wszelką pomoc
Czy ktoś z Was widzi jakiś inny sposób na to? Bo ja to z geometrii zawsze idę najprostszą drogą, strasznie nie lubię mieć związanych rąk Oczywiście podałem jej potrzebne twierdzenie, ale obiecałem, że pomyślę nad rozwiązaniem przystępnym dla niej
Z góry dziękuję za wszelką pomoc
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Znalezienie miary kąta w okręgu
Można to prosto zrobić korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i kącie wpisanym (choć tak naprawdę powtórzymy w ten sposób niejawnie dowód twierdzenia o którym mówisz).
Liczysz miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ 95^\circ}\), bierzesz dopełnienie tego kąta do kąta pełnego, a potem liczysz miarę kąta w czworokącie opartego na tym samym łuku, co wspomniane dopełnienie.
JK
Liczysz miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ 95^\circ}\), bierzesz dopełnienie tego kąta do kąta pełnego, a potem liczysz miarę kąta w czworokącie opartego na tym samym łuku, co wspomniane dopełnienie.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 9 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Niestety, żadna z cięciw nie przechodzi przez środek okręgu, więc z tego powodu twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym od razu odrzuciłem
Zaznaczyłem kropeczką środek okręgu
Zaznaczyłem kropeczką środek okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę \(\displaystyle{ ?}\)
Z warunku wpisania czworokąta w okrąg:
\(\displaystyle{ | \angle \alpha| +95^{o} = 180^{o}}\)
gdzie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 95^{o}}\) (rysunek).
Stąd
\(\displaystyle{ |\angle \alpha | = 85^{o}}\)
Z trójkąta o kątach:
\(\displaystyle{ 85^{0}, \ \ 30^{o}, \ \ ?}\)
i sumy miar kątów w trójkącie:
\(\displaystyle{ 85^{0} + 30^{o} +? =180^{o}.}\)
Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę:
\(\displaystyle{ ? = 180^{o} - 85^{o} - 30^{o}= 65^{o}.}\)
Z warunku wpisania czworokąta w okrąg:
\(\displaystyle{ | \angle \alpha| +95^{o} = 180^{o}}\)
gdzie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 95^{o}}\) (rysunek).
Stąd
\(\displaystyle{ |\angle \alpha | = 85^{o}}\)
Z trójkąta o kątach:
\(\displaystyle{ 85^{0}, \ \ 30^{o}, \ \ ?}\)
i sumy miar kątów w trójkącie:
\(\displaystyle{ 85^{0} + 30^{o} +? =180^{o}.}\)
Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę:
\(\displaystyle{ ? = 180^{o} - 85^{o} - 30^{o}= 65^{o}.}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2018, o 10:54 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 13 wrz 2018, o 20:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Pomógł: 2 razy
Re: Znalezienie miary kąta w okręgu
Jan Kraszewski, podał rozwiązanie, bez użycia tw. o wpisaniu czworokąta w okrąg. Kąt środkowy, o którym mówi, musisz sobie dorysować.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 13 wrz 2018, o 20:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Pomógł: 2 razy
Re: Znalezienie miary kąta w okręgu
No i na koniec wykorzystujemy wiedzę o tym, że suma miar kątów w trójkącie jest równa \(\displaystyle{ 180 ^\circ}\).Jan Kraszewski pisze:Można to prosto zrobić korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i kącie wpisanym (choć tak naprawdę powtórzymy w ten sposób niejawnie dowód twierdzenia o którym mówisz).
Liczysz miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ 95^\circ}\), bierzesz dopełnienie tego kąta do kąta pełnego, a potem liczysz miarę kąta w czworokącie opartego na tym samym łuku, co wspomniane dopełnienie.
JK
Jasne, powtarzamy dowód twierdzenia, które autor pytania chciał pominąć, ale nie używamy go wprost i myślę że o to autorowi pytania chodziło. To też miałam na myśli pisząc "bez użycia".
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 9 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Chodziło mi o rozwiązanie, BEZ tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, bo uczennica jeszcze go nie miałajanusz47 pisze:Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę \(\displaystyle{ ?}\)
Z warunku wpisania czworokąta w okrąg:
\(\displaystyle{ | \angle \alpha| +95^{o} = 180^{o}}\)
gdzie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 95^{o}}\) (rysunek).
Stąd
\(\displaystyle{ |\angle \alpha | = 85^{o}}\)
Z trójkąta o kątach:
\(\displaystyle{ 85^{0}, \ \ 30^{o}, \ \ ?}\)
i sumy miar kątów w trójkącie:
\(\displaystyle{ 85^{0} + 30^{o} +? =180^{o}.}\)
Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę:
\(\displaystyle{ ? = 180^{o} - 85^{o} - 30^{o}= 65^{o}.}\)
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Znalezienie miary kąta w okręgu
Ukryta treść:
swoją drogą "Bo ja to z geometrii zawsze idę najprostszą drogą" nie za bardzo ma tu zastosowanie, zaryzykuję stwierdzenie że obie metody są równie proste, ta może nawet ciut szybsza
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Miara kąta wklęsłego \(\displaystyle{ DOB}\) jest równa \(\displaystyle{ 170^{o}}\)
Miara kąta \(\displaystyle{ BAD}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot 170^{o} = 85^{o}.}\)
Miara kąta czerwonego jest równa \(\displaystyle{ 180^{o} - 85^{o} -30^{o}= 65^{o}.}\)
Jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, dziwne, że nauczyciel podając zastrzega sobie nie korzystanie z własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg.
Miara kąta \(\displaystyle{ BAD}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot 170^{o} = 85^{o}.}\)
Miara kąta czerwonego jest równa \(\displaystyle{ 180^{o} - 85^{o} -30^{o}= 65^{o}.}\)
Jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, dziwne, że nauczyciel podając zastrzega sobie nie korzystanie z własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg.
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 9 razy
Znalezienie miary kąta w okręgu
Nie do końca, po prostu, to jest zadanie ze strony dajmy na to pięćdziesiątej, a tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, ma dopiero na stronie 320 Podałem uczennicy ten sposób "na zaś", ale pytała czy da się zrobić bez tego i wymiękłem -- 23 wrz 2018, o 15:54 --Bardzo dziękuję użytkownikom Rafsaf i Janusz47 za pomoc!Jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, dziwne, że nauczyciel podając zastrzega sobie nie korzystanie z własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg.