Dany jest równoległobok ABCD.

[mati89]

Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do boku \(\displaystyle{ AB}\), a punkt \(\displaystyle{ F}\) należy do boku \(\displaystyle{ AD}\). Prosta \(\displaystyle{ EF}\) przecina prostą \(\displaystyle{ CB}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a prostą \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wykaż, że niezależnie od wyboru punktów \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) pole trójkąta \(\displaystyle{ CEF}\) jest równa polu trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\).

[kerajs]

Niech:
\(\displaystyle{ \left| AB\right|=a\\
\left| AC\right|=b\\
\left| AE\right|=x\\
\left| AF\right|=y\\
\angle BAD= \alpha}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ P_{CEF}=P_{ABCD}-P_{AEF} -P_{BCE}-P{CDF} =\\=ab\sin \alpha - \frac{1}{2}xy\sin \alpha - \frac{1}{2}(a-x) \cdot b\sin \left( \pi - \alpha \right) - \frac{1}{2}a \cdot (b-y)\sin \left( \pi - \alpha \right)=\\=\frac{1}{2}\sin \alpha \left( ay+bx-xy \right)}\)
\(\displaystyle{ P_{APQ}=P_{AEF}+P{AEP} +P{AFQ}=P_{AEF}+(P_{ABP} -P_{BEP})+(P{ADQ}-P{DFQ})=\\=
\frac{1}{2}xy\sin \alpha+\frac{1}{2}a \cdot \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha-\frac{1}{2}(a-x) \cdot \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha+\\+\frac{1}{2}b \cdot \frac{x(b-y)}{y} \sin \alpha-\frac{1}{2}(b-y) \cdot {x(b-y)}{y} \sin \alpha=\frac{1}{2}\sin \alpha \left( ay+bx-xy \right)}\)

[Hydra147]

Dana równość pól sprowadza się do stwierdzenia, że \(\displaystyle{ d(A,l) \cdot PQ=d(C,l) \cdot EF}\), gdzie \(\displaystyle{ d(X,l)}\) oznacza odległość punktu \(\displaystyle{ X}\) od prostel \(\displaystyle{ l}\) (prosta \(\displaystyle{ l}\) to prosta \(\displaystyle{ EFPQ}\)), co jest równoważne \(\displaystyle{ \frac{d(C,l)}{PQ}=\frac{d(A,l)}{EF}}\), która jest już jasna - aby lepiej to zobaczyć zauważmy, że przesuwając prostą \(\displaystyle{ l}\) równolegle zarówno jedna strona równania, jak i druga się nie zmienia (jednokładność), a ze względu na symetrię równoległoboku, obie strony muszą być równe (można to lepiej zauważyć oznaczając przez \(\displaystyle{ l'}\) prostą symetryczną do \(\displaystyle{ l}\) względem środka równoległoboku i analogicznie definiując punkty \(\displaystyle{ P'}\), \(\displaystyle{ Q'}\), \(\displaystyle{ E'}\) i \(\displaystyle{ F'}\) - wówczas kilka Talesów oraz wraz z zastosowaniem równości \(\displaystyle{ d(A,l)=d(C,l')}\) oraz \(\displaystyle{ d(A,l')=d(C,l)}\), które również wynikają z symetrii dają nam tezę.