okrąg i PI

[a4karo]

JEżeli zdefiniować \(\displaystyle{ \pi}\) jako stosunek długości okręgu do jego promienia, to wcale nie jest oczywiste, że jest to rówe \(\displaystyle{ 3.14...}\)

Wyobraź sobie planetę w kształcie sześcianu i gościa, który ma dom w jednym z wierzchołków. Jeżeli będzie chciał otoczyć koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) płotem, to będzie potrzebował \(\displaystyle{ 1.5\pi}\) metrów bieżących siatki, a nie \(\displaystyle{ 2\pi}\) jak w przypadku rezydencji w środku ściany sześcianu.

[suppeune]

XD jesteście wspaniali!

-- 8 wrz 2018, o 03:42 --

ale jakby wasz uczeń w podstawówce, przy wprowadzaniu wzoru na obwód koła. was zapytał skąd wiesz, że przy różnych kółkach to będzie to samo, co byście odpowiedzieli?

-- 8 wrz 2018, o 03:47 --

ja bym wycofał ciach, tę całą "matematykę" ze szkół i poszedłbym bardziej w prostytucję stosowaną

[Kaf]

Można nałożyć okręgi na siebie, tak żeby ich środki się pokryły, a następnie przeskalować je w skali \(\displaystyle{ \frac{r_2}{r_1}}\) (wtedy pierwszy okrąg przejdzie na drugi, co łatwo można uzasadnić). Skoro to skalowanie zmienia długości odcinków o czynnik \(\displaystyle{ \frac{r_2}{r_1}}\), to długości krzywych też powinno. Stąd
\(\displaystyle{ \mbox{obwód}_2= \frac{r_2}{r_1} \cdot \mbox{obwód}_1}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{obwód}_1}{r_1}=\frac{\mbox{obwód}_2}{r_2}}\)

[darek334]

Czy z tego, że obwód wielokąta musi być skończoną liczbą

Stosunek średnicy do obwodu nie jest skończona liczbą i nie może być tak jak obwód, lub, bo obwód nie jest. Błąd założeń, pomieszanie nieporównywalnych pojęć.
Pi konkretnego okręgu jest skończone.
Dowolnego nie jest bo r dąży do nieskończoności - trzeba wykluczyć nieskończoność.
Stosunek boku do obwodu konkretnego kwadratu jest skończone
Dowolnego nieskończony.

\(\displaystyle{ \mbox{obwód}_2= \frac{r_2}{r_1} \cdot \mbox{obwód}_1}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{obwód}_1}{r_1}=\frac{\mbox{obwód}_2}{r_2}}\)

Dodałbym:
\(\displaystyle{ \mbox{obwód}_1 = 2 \cdot \pi \cdot R _{1}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{obwód}_2= \frac{r_2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot R _{1}}{R _{1} }}\)
Świetne, widać że wraz ze zmianą \(\displaystyle{ R_{1}}\) dążącą do \(\displaystyle{ R _{2}}\) punkty leżące w odległości \(\displaystyle{ R _{1}}\) tworzące okrąg utworzą okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R _{2}}\) a więc skalowanie promienia jest tez skalowaniem obwodu, lub obwód, przynajmniej, jest zależny od promienia.