okrąg i PI

[suppeune]

Witam, proszę o pomoc w takim zadaniu:
Pokazać, że dwa dowolne okręgi mają równy stosunek obwodu do średnicy

[xxDorianxx]

Znasz wzory? Wiesz jak liczyć stosunek? Jeśli tak to zrób to następująco.Mamy dwa okręgi o różnych promieniach np \(\displaystyle{ r _{1}}\) i \(\displaystyle{ r _{2}}\).Oblicz stosunki dane w zadaniu dla każdego okregu i porównaj je.

[suppeune]

Nie o to mi chodzi, nie nam żadnych wzorów, nie znam nawet definicji liczby \(\displaystyle{ \pi}\). Pomierzyłem metrem krawieckim obwody kilku butelek i ich średnice, i zawsze ten stosunek mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ \left[3,3.3 \right]}\), przypuszczam, że ten stosunek jest stały. Teraz chcę to matematycznie pokazać.

[matmatmm]

Oblicz obwód \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i przejdź do granicy przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\).

[suppeune]

\(\displaystyle{ \frac{Ob}{2R} = \frac{\lim_{n \to \infty }2nR \sin \left(\frac{180^\circ}{n}\right)}{2R}= \lim_{n \to \infty } n \sin \left(\frac{180^\circ}{n}\right)}\). Czy z tego, że obwód wielokąta musi być skończoną liczbą już wynika, że taka granica istnieje i można ją nazwać \(\displaystyle{ \pi}\)? Mam wrażenie jakbym krążył w kółko.

[matmatmm]

Istnienie tej granicy wynika z istnienia znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\) przy czym jej wartość zależy od jednostki, w jakiej mierzymy kąty. Szczerze mówiąc jednak na ten moment nie potrafię udowodnić, że ta granica istnieje, nie wiedząc wcześniej, że okrąg jest krzywą, która ma długość. Po drugie stwierdzam teraz, że moja wskazówka i tak jest raczej bezużyteczna, bo z istnienia tej granicy formalnie nie wynika, że okrąg jest krzywą, która ma długość równą tej granicy. Ogólnie to formalna definicja długości krzywej jest dosyć skomplikowana. Również dużo zależy od tego, jak definiujemy na przykład okrąg i w ramach jakich aksjomatów, bo w analizie standardowo funkcje trygonometryczne definiuje się przez szeregi potęgowe, a za pomocą tych funkcji można już zdefiniować miarę kątów, liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) i całą resztę. W ten sposób na pewno da się ustrzec błędnego koła, aczkolwiek zastanowię się jeszcze nad podejściem geometrycznym (gdzie sinus nie jest zdefiniowany przez szereg potęgowy).

[suppeune]

Mając do dyspozycji całą analizę, potrafiłbym to pokazać. Zaskakuje mnie jednak, że do wykazania jednoznaczności takiej prostej definicji, trzeba posługiwać się analityczną definicją długości łuku krzywej. Wszak już starożytni wiedzieli, że ten stosunek jest stały i Archimedes próbował go wyznaczać, a wzoru na długość okręgu uczy się chyba teraz w podstawówce. Jak zatem starożytni rozumieli pojęcie długości krzywej? Czy nie mieli formalnego dowodu, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest wyznaczone jednoznacznie? Jeśli ktoś miałby informacje na ten temat, to proszę o linki, książki, artykuły. Ale może to już temat z historii matematyki...

[matmatmm]

Oke. Chyba coś mam. Uwaga, bo będę strzelał z armat, których de facto nie umiem udowodnić.

Jeśli \(\displaystyle{ a,b\in\RR,a<b}\), to podziałem odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\) nazywamy skończony ciąg \(\displaystyle{ \pi=(t_0,\ldots,t_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ a=t_0<\ldots<t_n=b}\), \(\displaystyle{ n\ge 1}\). Średnicą podziału \(\displaystyle{ \pi}\) nazywamy liczbę \(\displaystyle{ \textrm{diam} \pi:=\max_{i=1,\ldots,n}(t_i-t_{i-1})}\)

Mamy daną funkcję \(\displaystyle{ \gamma:[a,b]\rightarrow P}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\RR,a<b}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) to przestrzeń metryczna oraz mamy dany podział \(\displaystyle{ \pi}\) odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\). Definiujemy liczbę \(\displaystyle{ S(\pi):=\sum_{i=1}^{n}\rho\left( \gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})\right)}\).
Mówimy, że \(\displaystyle{ l}\) jest długością \(\displaystyle{ \gamma}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu podziałów \(\displaystyle{ (\pi_k)_{k\in\NN}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty}\textrm{diam} \pi_k=0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty}S(\pi_k)=l}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a,b\in\RR,a<b}\), to na odcinku \(\displaystyle{ [a,b)}\) wprowadzamy specyficzną topologię \(\displaystyle{ \mathcal{T}}\), gdzie za bazę przyjmujemy wszystkie przedziały otwarte zawarte w \(\displaystyle{ [a,b)}\) oraz zbiory postaci \(\displaystyle{ [a,a+epsilon)cup (b-epsilon,b)}\).

Weźmy teraz zbiór \(\displaystyle{ K\subseteq P}\), który jest homeomorficzny z pewnym odcinkiem \(\displaystyle{ [a,b)}\) wyposażonym w topologię \(\displaystyle{ \mathcal{T}}\). Zbiór \(\displaystyle{ K}\) nazywamy wówczas krzywą zamkniętą, każdy homeomorfizm \(\displaystyle{ gamma:[a,b)
ightarrow K}\) nazywamy parametryzacją i każdą parametryzację rozszerzamy do funkcji \(\displaystyle{ \gamma':[a,b]\rightarrow K}\) przyjmując \(\displaystyle{ \gamma'(b)=\gamma(a)}\). Jestem niemal przekonany (choć to tylko moja intuicja), że wówczas każda funkcja \(\displaystyle{ \gamma'}\) ma długość według wcześniejszej definicji i długość ta jest wspólna dla wszystkich parametryzacji. Liczbę tę nazywamy długością krzywej \(\displaystyle{ K}\).

Jeśli teraz wykazalibyśmy, że okrąg jest homeomorficzny na przykład z \(\displaystyle{ [0,1)}\) z topologią \(\displaystyle{ \mathcal{T}}\), to biorąc regularną parametryzację i standardowy ciąg podziałów, \(\displaystyle{ k}\)-temu podziałowi będzie odpowiadał \(\displaystyle{ k}\)-kąt foremny wpisany w nasz okrąg, a \(\displaystyle{ S(\pi_k)}\) będzie równe obwodowi temu wielokąta, a ciąg ten będzie zbieżny do długości krzywej, czyli obwodu okręgu.

Pozostaje pytanie, czy rzeczywiście każdy zbiór \(\displaystyle{ K}\) homeomorficzny z pewnym \(\displaystyle{ [a,b)}\) ma długość według mojej definicji.

[Kaf]

matmatmm, można pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ S}\) jest monotoniczna (gdzie na zbiorze podziałów rozważamy relację "bycia drobniejszym podziałem " jako relację porządku), więc długość najprościej zdefiniować jako supremum tej funkcji (mniej-więcej to samo się robi przy konstrukcji całki Riemanna/Darboux), ew. jako granicę (po zbiorze skierowanym, tzn. traktujemy \(\displaystyle{ S}\) jako ciąg uogólniony). Przy takim postawieniu sprawy "długość" zawsze istnieje, chociaż może być nieskończona. Jeśli jest skończona, to krzywą nazywa się prostowalną (co od razu sugeruje, że istnieją krzywe, które nie są prostowalne; tak jest w istocie, np. dowolna krzywa wypełniająca przestrzeń).

Krzywą zazwyczaj definiuje się jako funkcję ciągłą* \(\displaystyle{ \gamma:[a,b]\rightarrow M}\) gdzie \(\displaystyle{ M}\) to jest przestrzeń topologiczna. Twoja definicja jest trochę dziwna, bo odrzuca od razu wszystkie krzywe z samoprzecięciami i pewnie kilka innych klas, poza tym okrąg nie jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ [0,1)}\) (np. dlatego, że usunięcie punktu z przedziału go rozspójnia, a usunięcie punktu z okręgu nie), więc okrąg też nie byłby krzywą wedle tej definicji (i ogólnie dowolna krzywa zamknięta).

* są też inne definicje, ale to nie ma większego znaczenia w tym momencie

[matmatmm]

Kaf, nie doczytałeś, bo ja na zbiorze \(\displaystyle{ [0,1)}\) rozważam topologię inną niż euklidesowa. Chodzi mi o to właśnie, żeby krzywa zamknięta według mojej definicji była homeomorficzna z okręgiem.

[Kaf]

Okej, to dopytam w takim razie, co znaczy wyrażenie

\(\displaystyle{ [a+epsilon)cup (b-epsilon)}\)

(bo przypuszczalnie inaczej je zrozumiałem)

[matmatmm]

Masz rację. Chodziło mi o \(\displaystyle{ [a,a+epsilon)cup(b-epsilon,b)}\).

[Kaf]

No to ta topologia to jest dokładnie topologia euklidesowa tzn. topologia dziedziczona z \(\displaystyle{ \RR}\).

[matmatmm]

Czy zbiór \(\displaystyle{ left[0,frac{1}{2}
ight)}\) jest otwarty w tej topologii, gdy \(\displaystyle{ [a,b)=[0,1)}\) ?

[Kaf]

Dobra, przyznaję się do błędu, myślałem, że tych końcach są to inaczej wygląda niż napisałeś (nie wiem co mi się tak ubzdurało). W takim razie faktycznie, \(\displaystyle{ [0,1)}\) z tą topologią to po prostu okrąg, można wziąć standardowe odwzorowanie z tego przedziału w okrąg i sprawdzić ciągłość ręcznie, licząc przeciwobrazy elementów bazy.