Pewną płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego
innego koła. Dowiedź, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.
Z góry dziękuję za pomoc!
Koła na płaszczyźnie
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
- Pomógł: 13 razy
Koła na płaszczyźnie
Hint: Zakładamy, że teza nie zachodzi. Niech punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do sześciu okręgów których środkami są punkty \(\displaystyle{ O_1, O_2, ... ,O_6}\). Wówczas istnieje kąt \(\displaystyle{ \angle O_i P O_{i+1} \le 60^{\circ}}\) (zakładając, że \(\displaystyle{ O_7=O_1}\)).
Bez straty ogólności przyjmij, że ten kąt to \(\displaystyle{ \angle O_1 P O_2}\) i rozważ trójkąt \(\displaystyle{ O_1 P O_2}\).
Dowód hintu: