Koła na płaszczyźnie

[Ogorek00]

Pewną płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego
innego koła. Dowiedź, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

Z góry dziękuję za pomoc!

[_Michal]

Hint: Zakładamy, że teza nie zachodzi. Niech punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do sześciu okręgów których środkami są punkty \(\displaystyle{ O_1, O_2, ... ,O_6}\). Wówczas istnieje kąt \(\displaystyle{ \angle O_i P O_{i+1} \le 60^{\circ}}\) (zakładając, że \(\displaystyle{ O_7=O_1}\)).

Dowód hintu:    

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{6} \angle O_i P O_{i+1} = 360^{\circ}}\).

Gdyby wszystkie te kąty miały większą miarę od \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) to:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{6} \angle O_i P O_{i+1} > 360^{\circ}}\). Sprzeczność.

Bez straty ogólności przyjmij, że ten kąt to \(\displaystyle{ \angle O_1 P O_2}\) i rozważ trójkąt \(\displaystyle{ O_1 P O_2}\).