Okrąg i kwadrat

[KrolKubaV]

Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o}\) o środku \(\displaystyle{ O}\). Skonstruować taki kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\), aby punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżały na danym okręgu oraz aby odcinek \(\displaystyle{ CD}\) miał możliwie największą długość.

Z góry dzięki za pomoc!

[kerajs]

Hint:
Odcinek łączący punkty A i B jest średnicą okręgu.

PS
Na pewno taka jest treść zadania?

[KrolKubaV]

Przepraszam! Miło być \(\displaystyle{ OC}\) zamiast \(\displaystyle{ CD}\).

[_Michal]

Hint: Niech bok tego kwadratu to \(\displaystyle{ a}\), promień koła \(\displaystyle{ r}\), a odcinek \(\displaystyle{ OC}\) to \(\displaystyle{ x}\). Rozważmy czworokąt \(\displaystyle{ AOBC}\). Z nierówności Ptolemeusza dostajemy \(\displaystyle{ r \cdot a + r \cdot a \sqrt 2 \ge a \cdot x}\) czyli \(\displaystyle{ x \le r + r \cdot \sqrt {2}}\), przy czym równość zachodzi tylko gdy na \(\displaystyle{ AOBC}\) da się opisać okrąg.

[kerajs]

Bardzo fajne i szybkie rozwiązanie. W dodatku konstrukcja kąta AOB jest banalna.

Mi brak finezji, więc rozwiązałbym zadanie optymalizacyjne uzyskując \(\displaystyle{ a=r \sqrt{2+ \sqrt{2} }}\) , a konstrukcja takiego odcinka byłaby znacznie dłuższa (choć prosta).