Suma długości przekątnych rombu

[matematykipatyk]

Ile jest równa suma długości przekątnych rombu jeżeli promień okręgu wpisanego w romb jest równy \(\displaystyle{ 1,2}\) cm a długość boku \(\displaystyle{ 2,5}\) cm ?

[Premislav]

Skorzystaj ze wzoru na pole czworokąta o obwodzie \(\displaystyle{ 2p}\) i promieniu okręgu wpisanego \(\displaystyle{ r}\): \(\displaystyle{ S=pr}\). Z drugiej strony
\(\displaystyle{ S=\frac 1 2 d_1 d_2}\), gdzie \(\displaystyle{ d_1, \ d_2}\) to przekątne rombu. Otrzymasz wtedy
po przyrównaniu tych dwóch postaci:
\(\displaystyle{ 12=d_1 d_2}\), a z drugiej strony przekątne w rombie (jak w każdym równoległoboku) dzielą się na połowy (w sensie punkt przecięcia przekątnych jest środkiem obu przekątnych) i (to już specyficzne dla rombu) przecinają się pod kątem prostym. Zatem z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \frac 1 4d_1^2+\frac 1 4d_2^2=6,25}\),
czyli masz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d_1 d_2=12 \\ \frac 1 4d_1^2+\frac 1 4d_2^2=6,25 \end{cases}}\)

Teraz zauważ, że dla dodatnich \(\displaystyle{ d_1, \ d_2}\) (co oczywiście jest prawdą, wystarczyłoby tu nawet, aby suma była nieujemna) można napisać:
\(\displaystyle{ d_1+d_2=\sqrt{(d_1+d_2)^2}=\sqrt{d_1^2+d_2^2+2d_1d_2}}\)
i wstaw za sumę kwadratów oraz iloczyn.