Podział prostokąta

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje prostokąt, który można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) różnych kwadratów ?

[kerajs]

Na pewno istnieją takie prostokąty dla \(\displaystyle{ n \ge 9}\) gdyż powstaną przez dostawianie kwadratów do boków prostokąta (złożonego z 9 kwadratów) z grafiki:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.35]
\fill [cyan] (0,0) rectangle (9,9);
\fill [magenta] (9,0) rectangle (19,10);
\fill [yellow] (19,0) rectangle (33,14);
\fill [orange] (0,9) rectangle (8,17);
\fill [blue] (0,17) rectangle (15,32);
\fill [gray] (8,9) rectangle (9,10);
\fill [green] (8,10) rectangle (15,17);
\fill [white] (15,10) rectangle (19,14);
\fill [red] (15,14) rectangle (33,32);
\draw[step=1,black] (0,0) grid (33,32);
\end{tikzpicture}}\)

Intuicja sugeruje mi że nie ma układów o mniejszej ilości kwadratów, ale mogę się mylić.

[a4karo]

Nie powiedziano, że mają być parami różne, więc zacząć można od sześciu (w kwadracie 3x3 zmieniany cztery kostki kwadratem 2x2).

[kruszewski]

Zadanie mieści się w problemie upakowania. Ciekawie o tym pisze jeden z autorów w Dwunastu esejach pod red. Arhura Steerna

Ukryta treść:    

-- 9 lip 2018, o 07:44 --

O ile łatwo jest pokazać kwadraty, każdy inny, których suma pól jest równa polu prostokąta a ilość ich dowolna, o tyle pokazać takie, którymi można pokryć jego pole bez zakładek i luzów, jest już trudno. "Przypuszczam z pewnością", że zależy to od wyboru długości boku największego kwadratu.