Pole trapezu

[matematykipatyk]

W okrąg wpisano trapez o wysokości \(\displaystyle{ h}\). Kąt między promierniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion trapezu jest równy \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem\(\displaystyle{ P= \frac{h^2}{\tg \alpha}}\) .

[uakci]

Zauważ:
1) Skoro trapez jest wpisany w okrąg, musi on być równoramienny.
2) Skoro kąt środkowy ma \(\displaystyle{ 2\alpha}\), to kąt wpisany będzie miał \(\displaystyle{ \alpha}\). Spróbuj oprzeć ten kąt na końcu przeciwnego ramienia.

[matematykipatyk]

Masz na myśli to żeby oprzeć go na końcu przeciwnej podstawy ? Ale wtedy nie będzie miał nic wspólnego z kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

[uakci]

Masz na myśli to żeby oprzeć go na końcu przeciwnej podstawy ? Ale wtedy nie będzie miał nic wspólnego z kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

Nie. Kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) jest oparty na łuku, którego końce są naraz końcami jednej z podstaw. To kąt środkowy, więc każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku będzie miary \(\displaystyle{ \alpha}\). Ustaw wierzchołek nowego kąta na końcu przeciwnej podstawy — wtedy będziesz w stanie znaleźć zależności trygonometryczne rządzące wielkościami w tym zadaniu.

[matematykipatyk]

\(\displaystyle{ P = h \cdot \frac{h}{\tg \alpha}}\)
czyli muszę w jakiś sposób udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)}{2}= \frac{h}{\tg \alpha}}\)
Nie mam pojęcia jak to zrobić.

[Belf]

Masz na myśli to żeby oprzeć go na końcu przeciwnej podstawy ? Ale wtedy nie będzie miał nic wspólnego z kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

Nie. Kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\) jest oparty na łuku, którego końce są naraz końcami jednej z podstaw. To kąt środkowy, więc każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku będzie miary \(\displaystyle{ \alpha}\). Ustaw wierzchołek nowego kąta na końcu przeciwnej podstawy — wtedy będziesz w stanie znaleźć zależności trygonometryczne rządzące wielkościami w tym zadaniu.

Nie o ten kat chodzi w tym zadaniu. Kat środkowy, to kąt zawarty miedzy promieniami, których końce należą do jednego z ramion terapezu, a nie podstawy.
Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , to kat miedzy górną podstawą , a przekatną trapezu.

Teraz zauważ,że: \(\displaystyle{ \frac{h}{a+ \frac{b-a}{2} }=\tg \alpha}\)
czyli: \(\displaystyle{ \frac{2h}{a+b}=\tg \alpha}\) i po problemie.
( a - górna podstawa, b - dolna podstawa )

-- 5 lip 2018, o 11:40 --

\(\displaystyle{ P = h \cdot \frac{h}{\tg \alpha}}\)
czyli muszę w jakiś sposób udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)}{2}= \frac{h}{\tg \alpha}}\)
Nie mam pojęcia jak to zrobić.

Popraw :

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\cdot h= \frac{h}{\tg \alpha }}\)

[matematykipatyk]

Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , to kat miedzy górną podstawą , a przekatną trapezu.

Dlaczego? Ma to przecież być kąt między promieniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion czyli w ten sposób

[PokEmil]

Matematykipatyk, to o czym mówisz to kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\), on jest oparty na łuku między ramionami, tak jak podałeś na rysunku. Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) o którym mówi Belf, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, więc dwa razy mniejszy niż \(\displaystyle{ 2 \alpha}\), czyli ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\).

[matematykipatyk]

W końcu dotarło. Dziękuję za pomoc.

[kruszewski]

Ukryta treść: