Kąty w trapezie

[matematykipatyk]

Przekątna trapezu równoramiennego \(\displaystyle{ ABCD}\) tworzy z dłuższą podstawą \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz stosunek pola trójKąta \(\displaystyle{ ACD}\) do pola \(\displaystyle{ ABC}\).

[kerajs]

Zakładam, że w zadaniu mowa o przekątnej AC. Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{P_{ACD}}{P_{ABC}}= \frac{ \frac{1}{2}\left| CD\right| \cdot h }{\frac{1}{2}\left| AB\right| \cdot h } = \frac{ \left| CD\right| }{\left| AB\right| } = \frac{h\ctg \alpha -h\ctg\left( \alpha + \beta \right) }{h\ctg \alpha +h\ctg\left( \alpha + \beta \right)} =\frac{\ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta \right) }{\ctg \alpha +\ctg\left( \alpha + \beta \right)}}\)

[janusz47]

II sposób

Rysunek.

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ |AB| = a}\) - długość dłuższej podstawy trapezu.

\(\displaystyle{ |DE| = |DF| = h}\) - długość wysokości trapezu.

\(\displaystyle{ |AD| = |BC| = c}\) - długość ramion trapezu.

\(\displaystyle{ |AF| = |EB| = x}\) długości odcinków dłuższej podstawy trapezu.

Przy tych oznaczeniach stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC jest równy:

\(\displaystyle{ \frac{P_{ACD}}{P_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}p\cdot c\cdot \sin(\beta)}{\frac{1}{2}p\cdot a\cdot \sin(\alpha)} = \frac{c}{a}\cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}.}\) (1)

Wyznaczamy iloraz długości ramienia trapezu \(\displaystyle{ c}\) do długości jego dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a .}\)

Z trójkąta prostokątnego ADF:

\(\displaystyle{ c = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}}\) (2)

\(\displaystyle{ x = \frac{h}{\tg(\alpha + \beta)}}\) (3)

Z trójkąta prostokątnego AEC:

\(\displaystyle{ |AE| = a - x = \frac{h}{\tg(\alpha)}}\) (4)

Z (4) i z (3)

\(\displaystyle{ a= \frac{h}{\tg(\alpha)} + \frac{h}{\tg(\alpha+\beta)} = h[\ctg(\alpha) + \ctg(\alpha +\beta)]}\)(5)

Podstawiając (2) i (5) do (1)

\(\displaystyle{ \frac{P_{ACD}}{P_{ABC}} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha + \beta)\cdot[\ctg(\alpha) + \ctg(\alpha +\beta)]}= \frac{\sin(\beta) }{\sin(2\alpha + \beta)}.}\)

[matematykipatyk]

kerajs skąd to równanie :
\(\displaystyle{ \frac{\left| CD\right|}{h} = \ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta)}\)

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ C'}\) i \(\displaystyle{ D'}\) będą rzutami wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\). Stąd:

\(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| C'D'\right|=\left| AB\right|-\left| AD'\right|=\left| AB\right|-\left| C'B\right|=\left| CC'\right|\ctg \alpha - \left| CC'\right|\ctg\left( \alpha + \beta \right) =\\=h\left( \ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta \right)\right)}\)

[matematykipatyk]

Jeżeli \(\displaystyle{ C'}\) i \(\displaystyle{ D'}\) są rzutami wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\) to nieprawdziwe są równości:

\(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| C'D'\right|=\left| AB\right|-\left| AD'\right|=\left| AB\right|-\left| C'B\right|}\)

[kerajs]

A ściślej to:
\(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| C'D'\right| \neq \left| AB\right|-\left| AD'\right|=\left| AB\right|-\left| C'B\right| \neq \left| CC'\right|\ctg \alpha - \left| CC'\right|\ctg\left( \alpha + \beta \right) =\\=h\left( \ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta \right)\right)}\)

Po prostu po kopiowaniu nie skasowałem nadmiarowego elementu. Powinno być:
\(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| C'D'\right| = \left| AB\right|-\left| AD'\right|-\left| C'B\right|=\left| CC'\right|\ctg \alpha - \left| CC'\right|\ctg\left( \alpha + \beta \right) =\\=h\left( \ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta \right)\right)}\)

lub aby lepiej pokazać problematyczny dla Ciebie fragment:
\(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| C'D'\right| = \left| AB\right|-\left| AD'\right|-\left| C'B\right| =\left( \left| AB\right|-\left| AD'\right|\right) -\left| C'B\right|=\\=\left| CC'\right|\ctg \alpha - \left| CC'\right|\ctg\left( \alpha + \beta \right) =h\left( \ctg \alpha -\ctg\left( \alpha + \beta \right)\right)}\)

[matematykipatyk]

A jakbyś to zapisał z tangensami zamiast cotangensów?