Trapez i jego przekątne

[matematykipatyk]

Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\):
a) Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CSD}\) są podobne, a trójkąty \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BSC}\)mają równe pola.
b) Pole trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równe 9 , a pole trójkąta \(\displaystyle{ CSD}\) jest równe 4. Oblicz pole trapezu.
c) Długości podstaw trapezu wynoszą 5 i 3 , a jego pole jest równe 32. Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ASD}\).

[darek334]

Rozumiem że a) b) c) są odrębnymi zadaniami ale tak żeby spełniały właściwości w nim opisane a nie wartości ? Bo w b) mamy Oblicz pole trapezu a w c) ...a jego pole jest równe 32
Czyli pozostają właściwości trapezu a wartości sa nie istotne w każdym z zadań ???

To teraz tak:
trójkąty \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) i \(\displaystyle{ \triangle DSC}\) sa podobne, bo mają ten sam kąt wierzchołkowy \(\displaystyle{ \sphericalangle BSA}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle CSD}\), oraz takich samych resztę kątów wynikających z naprzemianległości wewnętrznej. Aby trójkąt \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) mógł być podobny do trójkąta \(\displaystyle{ \triangle CSD}\) to musiałby tez byc podobny do trójkąta \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) a ponieważ te dwa trójkąty maja wspólny kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle BAS}\) to kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB}\) w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) musi sie równać kątom\(\displaystyle{ \sphericalangle ASB}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle CSD}\), co jest niemożliwe bo wówczas punkt \(\displaystyle{ C}\) musiałby leżeć na przekątnej \(\displaystyle{ DB}\), gdyż katy \(\displaystyle{ \sphericalangle DBA}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA}\) musiałby być równe,,, chyba się gdzieś rąbnąłem ?...Albo kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB}\) nie jest taki sam jak \(\displaystyle{ \sphericalangle ASB}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle CSD}\) i jedyną możliwością z takich samych kątów z podobieństwa trójkątów, pozostaje kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA}\). Czyli kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA}\) musi być taki sam jak kąty wierzchołkowe trójkątów \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) i \(\displaystyle{ \triangle SCD}\) a z tego wynika że kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB}\) jest równy katowi \(\displaystyle{ \sphericalangle SDC}\) a ponieważ jest to kąt ostry to by wyglądało na to że to jest bardziej przechylony trapez być może równoległobok, albo odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest ta krótsza podstawą ...ufff nie mam na czasu....

[Dilectus]

Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\):
a) Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CSD}\) są podobne, a trójkąty \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BSC}\)mają równe pola.

Weźmy trapez będący prostokątam. Tu trójkąty, o których mówisz nie są podobne.

[darek334]

Taka konstrukcja może i jest możliwa, tak czuję, chociaż jeśli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest tą krótsza podstawą to pole trójkąta \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) powinno być mniejsze od \(\displaystyle{ \triangle DSC}\) . Natomiast udowodnienie równości pól \(\displaystyle{ \triangle ASD}\) i \(\displaystyle{ \triangle BCS}\) jest niezwykle proste i intuicyjne i pochodzi od własności trapezu:
Każda przekątna trapezu tworzy \(\displaystyle{ \triangle}\) trójkąt oparty na tej samej podstawie z odpowiadającym mu naprzeciwległym ramieniem, pola tych trójkątów są równe, gdyż opierają się na tej samej podstawie i posiadają tą samą wysokość i tu:
\(\displaystyle{ \triangle ABD = \triangle ABC}\)
Trójkąty \(\displaystyle{ \triangle ASD}\) i \(\displaystyle{ \triangle BCS}\) powstają poprzez odjęcie wspólnej części \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) od trójkątów \(\displaystyle{ \triangle ABD}\) oraz \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), tak więc muszą być równe i tak jest w każdym przypadku.

[Dilectus]

Poprzednio pokazałem, że istnieją trapezy, w których te trójkąty nie są podobne. Zapewne jednak są takie trapezy, w których te trójkąty są podobne. Spróbujmy więc powiedzieć, dla jakich trapezów zadanie a) ma rozwiązanie, tzn. dla jakich trapezów zachodzi to podobieństwo trójkątów.

[piasek101]

Wg mnie zadanie zostało skrócone (zabrakło informacji o równoległości) + literówka w nazwach trójkątów (podobnych).

[matematykipatyk]

Czyli reasumując rozwiązanie do pkt a) . Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) mają równe pola bo mają tą samą podstawę i wysokość więc po odjęciu od każdego z nich pola trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) można stwierdzić (z cała mocą, siłą i stanowczością) że ich pola są równe. Prosiłbym jeszcze o pomoc w rozwiązaniu podpunków b i c.

[piasek101]

Wg mnie zadanie zostało skrócone (zabrakło informacji o równoległości) + literówka w nazwach trójkątów (podobnych).

Nie odniosłeś się do tego.

[Dilectus]

Ani do tego:

Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\):
a) Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CSD}\) są podobne, a trójkąty \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BSC}\)mają równe pola.

Weźmy trapez będący prostokątam. Tu trójkąty, o których mówisz nie są podobne.

[matematykipatyk]

Powinno być \(\displaystyle{ ASB}\) zamiast \(\displaystyle{ ABC}\). Nie rozumiem o jakiej równoległości mówisz. Podstawy muszą być równoległe bo to trapez.

[piasek101]

Powinno być \(\displaystyle{ ASB}\) zamiast \(\displaystyle{ ABC}\). Nie rozumiem o jakiej równoległości mówisz. Podstawy muszą być równoległe bo to trapez.

Ale w zadaniu powinno być podane, które to podstawy.

[matematykipatyk]

W książce jest rysunek . Wiesz może jak ruszyć ppkt b i c.

[piasek101]

Wiem.
b)c) Trójkąty górny i dolny (klasyczny rysunek - i taki raczej masz) są podobne.
b) skala dużego do małego to \(\displaystyle{ 1,5}\)

c) małego do dużego to \(\displaystyle{ 0,6}\).

[matematykipatyk]

Nic mi to nie mówi. nie wiem jak z tej skali wydedukować pole.

[piasek101]

b) zatem podstawy trapezu to \(\displaystyle{ |AB|=3x}\) oraz \(\displaystyle{ |CD|=2x}\); wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) to \(\displaystyle{ 3y}\), a trójkąta \(\displaystyle{ CDS}\) to \(\displaystyle{ 2y}\).

c) wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) to \(\displaystyle{ 5z}\), a trójkąta \(\displaystyle{ CDS}\) to \(\displaystyle{ 3z}\).