Trapez i jego przekątne

[matematykipatyk]

Zgadzam się. Ale nadal nie wiem jak pociągnąć zadanie.

[piasek101]

Ze znanych pól wyznaczyć niewiadome (niekoniecznie wszystkie)- pokaż próby, potem obliczać co chcą.

[matematykipatyk]

\(\displaystyle{ 3x \cdot 3y= 9}\) oraz \(\displaystyle{ 2x \cdot 2y = 4}\)
Pod \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) można podstawić różne liczby.
Poza tym potrzebuję pole trójkąta \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BSC}\) (tzn jednego z nich bo obydwa mają równe pola ) .

[piasek101]

b) To trójkąty !

\(\displaystyle{ \red 0,5\black \cdot 3x\cdot 3y=9}\) z tego \(\displaystyle{ (x\cdot y)=2}\)

Pole trapezu \(\displaystyle{ P=0,5(2x+3x)(2y+3y)=0,5\cdot 25\cdot (x\cdot y)=...}\)

c) tu możesz wyznaczyć (z). Pole szukanego trójkąta to różnica pól innych dwóch trójkątów (o czym chyba ktoś w tym wątku pisał).

[matematykipatyk]

Ale własciwie skąd wiemy, że:

Wysokość trójkąta ABS to \(\displaystyle{ 5z}\), a trójkąta CDS to \(\displaystyle{ 3z}\).

[piasek101]

Trójkąty ,,górny i dolny" są podobne - przecież to pisałem podpowiadając w tym wątku (zbierz wszystkie odpowiedzi po kolei i rozkminiaj).

[darek334]

Jak dla mnie najpierw trzeba te punkty rozpatrzyc jako oddzielne sytuacje, ze względu na to że w jednym podpunkcie jest pytanie o pole trapezu a w drugim to pole jest podane.
I tak :
a)

• Równośc pól \(\displaystyle{ ASD}\) i \(\displaystyle{ BCS}\) została udowodniona wcześniej.

• Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\)i \(\displaystyle{ DSC}\)są podobne

Mogą być te trójkąty podobne, ale tylko w jednym przypadku, kiedy kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB = \sphericalangle SBA}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB = \sphericalangle SDC}\).
Kat \(\displaystyle{ \sphericalangle SBA = \sphericalangle SDC}\) co wynika z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ DSC}\) i \(\displaystyle{ ABS}\).
Kąt\(\displaystyle{ \sphericalangle BAC = \sphericalangle BAS}\) bo są wspólne.

Z założonego podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABC\: ABS\: DSC}\) musiało by wynikać, że kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB = \sphericalangle SBA = \sphericalangle SDC}\) o czym pisałem wcześniej oraz wynikało by z tego że:

\(\displaystyle{ \sphericalangle DCB}\) trapezu równa się sumie katów \(\displaystyle{ \sphericalangle DCS + \sphericalangle SDC}\), lub \(\displaystyle{ \sphericalangle BAS + \sphericalangle SBA}\).

Dlatego na przykład taka sytuacja nie zachodzi w przypadku prostokąta gdyż:
\(\displaystyle{ \sphericalangle SDC = \sphericalangle DCS}\) i musiało by zajść:
\(\displaystyle{ 90 - \sphericalangle DCS = \sphericalangle DCS}\) , co jest nieprawdą.

W przypadku kwadratu ta równość już zachodzi a więc kwadrat jest rozwiązaniem.

cdn...

[piasek101]

• Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\)i \(\displaystyle{ DSC}\)są podobne

Trzeba było wątek poczytać - w zadaniu była literówka (potem była poprawiona) i podobieństwa tych trójkątów (co podajesz) nie trzeba było wykazywać.

[darek334]

Zgadza się nie zauważyłem. Ale dla zasady dokończę, bo została tu jedna niejasność, dlaczego założyłem że kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA}\) trókata \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), ma być kątem takim samym jak kąty \(\displaystyle{ \sphericalangle ASB}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle CSD}\) i ma być to kąt pomiędzy ramieniem trapezu a jego jedną z podstaw, to jest bardzo ważne, bo można założyć że ten kąt leży pomiędzy przekątną trapezu a jego ramieniem:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB = \sphericalangle ASB = \sphericalangle CSD}\) (AC przekątna zgodnie z naszymi oznaczeniami, bo można inaczej oznaczyć)

Gdyby tak było to wówczas kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA}\) trójkąta \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) musiałby być kątem pomiędzy podstawą trapezu a jego przekątną \(\displaystyle{ DB}\) co wynikałoby z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ \triangle ABC\: \triangle ABS\: \triangle DSC}\) i punkt \(\displaystyle{ C}\) musiałby leżeć na przekątnej \(\displaystyle{ DB}\) a wówczas nie był by to już trapez.

-- 16 sie 2018, o 12:29 --

\(\displaystyle{ \triangle ABC}\) jest podobny \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) jest podobny \(\displaystyle{ \triangle DSC}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) kiedy jeden z kątów \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) jest kątem pomiędzy jedną z podstaw trapezu a jego ramieniem i jest to kąt taki sam jak kąty wyznaczone przez przecinające się przekątne trapezu, przeciwległe do podstaw trapezu \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) kąt między tym ramieniem a pozostałą przeciwległą podstawą trapezu ma miarę równą sumie pozostałych kątów trójkątów podobnych.
Kąt pomiędzy przekątna a ramieniem trapezu nie może być taki sam jak kąty przeciwległe do podstaw trapezu wyznaczone przez przecinające się przekątne, gdyż wówczas pozostały kąt leżący na tym samym ramieniu a podstawa trapezu musiałby być równy kątowi pomiędzy przekątna a tą podstawą.(dodatkowe słabo sprzecyzowane)

\(\displaystyle{ \triangle ABC}\) jest podobny \(\displaystyle{ \triangle ABS}\) jest podobny \(\displaystyle{ \triangle DSC \Leftrightarrow \sphericalangle CBA = \sphericalangle ASB = \sphericalangle CSD \Rightarrow \sphericalangle DCB = \sphericalangle DCA + \sphericalangle ACB}\)-- 17 sie 2018, o 17:32 --\(\displaystyle{ \Rightarrow \sphericalangle ACB = \sphericalangle SBA = \sphericalangle SDC}\)