Podział odcinka na trzy równe części

[darek334]

Pewnego dnia w starożytnej Grecji zebrała się rada 10 władców. Mieli oni radzić jak podzielić granice miast i inne materialne rzeczy. Mimo zaawansowanych narzędzi matematycznych co chwila każdy z nich zaczął podważać dokładność pomiarów. Ustanowili więc nową uniwersalna miarę "skok królika" i zaczęli odkrywać matematykę na nowo. I znów powstał problem z podziałem "skoku królika" na trzy równe części. Wezwano więc, najlepszego matematyka, aby to zrobił. Ku zgodzie wszystkich matematykowi w miarę szybko udało się podzielić "skok królika" na dwie równe części, ale z podziałem na trzy zaczął tez mieć problemy. Jak podzielić odcinek na trzy równe części ?

[a4karo]

To zależy co masz do dyspozycji.

[kruszewski]

Jeżeli potrafił podzielić na połowy, to miał cyrkiel i liniał. Najpwewniej znał tw. Talesa.
Wtedy cyrklem i jednym liniałem:

[darek334]

To zależy co masz do dyspozycji

To zależy juz tylko od Ciebie - odpowiedzieli chórem prawie wszyscy władcy, jak będziemy mieli wątpliwości to je zgłosimy...

Jeżeli potrafił podzielić na połowy, to miał cyrkiel i liniał. Najpwewniej znał tw. Talesa.
Wtedy cyrklem i jednym liniałem...

Jeden z władców spojrzał się na innych i rzekł - cyrkiel możemy uznać tak jak odmierzony nasz odcinek na jakiejś linie jako miarę początkową, ruchy tez musimy uznać wszak nie da się dokonać podziału bez ani jednego ruchu, obrotu czy przemieszczenia.
Ale liniału nie możemy uznać bo nie jesteśmy pewni jego krzywizn, jednym słowem władca Krety nie zgadza się na używanie innych obiektów, oprócz naszego początkowego obiektu... - skończył ponuro.
Ale wasz wykres napawa nas optymizmem - dodał inny władca, przyglądający się z zaciekawieniem wykresowi.

[kruszewski]

darek334 pisze:
"Ale liniału nie możemy uznać bo nie jesteśmy pewni jego krzywizn, jednym słowem władca Krety nie zgadza się na używanie innych obiektów, oprócz naszego początkowego obiektu... - skończył ponuro."
To ja zapytam mrużąc oko filuternie, jak bardzo krzywy jest ten odcinek którego podziału należy dokonać?
Jeżeli uznamy, że odcinek jest jednoznacznie określony podaniem miejsc jego początku i końca, czyli dwu punktów, to może być przydatne tu twierdzenie Mascheroniego o tym, że wszystkie konstrukcje które można wykonać za pomocą liniału i cyrkla dają się wykonać za pomocą samego cyrkla. Prosta, z której wycięto interesujący nas odcinek jest narysowana w sposób nie wchodzący do tego twierdzenia.

[darek334]

Hymm zgodzimy się zatem że nasz odcinek jest wyznaczony przez dwa punkty zwane dalej początkowym i końcowym - ripostuje jeden z brodaczy pewnie patrząc się na całą resztę i "skok królika".
- Zatem wystarczy cyrkiel do wykonania podziału odcinka - dokończył pewnie...
- Nie znaliśmy twierdzenia tego pana, ale miał on zapewne na myśli wykonanie/odmierzenie odcinaka, z czym sie zgadzamy, bo odcinek musi mieć początek i koniec. Samo narysowanie odcinka, jest formalnością i nie jest zabronione i uznajmy to narysowanie jako poglądowe, bo niektórzy starzy władcy nie maja już takiej wyobraźni, żeby sobie wszystko móc zbudować w wyobraźni. Rysowanie odcinków zgodne z naszymi założeniami jest dozwolone. - dodał śpiewnie starszy władca.
Uznajemy też punkt wyznaczony z przecięcia się tych odcinków lub innych prostych czy linii. - Szybko rzucił inny.
- Reasumując odcinek wyznaczony za pomocą dwóch punktów jest dla nas wiążący i nadal zgodny z początkowym założeniem, że wystarczy nam skok królika + plus odmierzony za pomocą cyrkla "skok" jako miary narzędziowej, potrzebnej do przemieszczania, jak wolisz cyrkiel... - bez zająknięcia rzucił władca Teb, widząc aprobatę innych...

[kruszewski]

Jak piszą dwaj panowie znani w matematyce, pan R. Courant i pan H. Robbins w gubej książeczce pt. Co to jest MATEMATYKA, "za pomocą samego cyrkla można wykonać cztery następujące konstrukcje podstawowe.
1) wykreślić okrąg o danymm środku i promieniu;
2) wyznaczyć punktu przecięcia dwu okręgów;
3) wyznaczyć punkty przecięcia prostej i okręgu;
4) wyznaczyć pynkty przecięcia dwóch prostych."

Pamiętamy, że proste o których mowa dane są punktami przynależnymi do nich a nie "kreskami".

[darek334]

Zatem do dzieła - rzucił zirytowany władca Knossos
Podzielmy w końcu ten skok królika !
Uważamy że linie dzielące nasz skok królika nie są do siebie równoległe, innymi słowy podważamy ich równoległość, - wycedził przez zęby władca Teb...
Te kąty między naszym odcinkiem a prostymi na których są wyznaczone okręgi nie są sobie równe - rzucił jakiś zezowaty brodacz...

[kruszewski]

Których Teb?
Kiedyś popisywałem z takim "userem" który twierdził, że ma dowód na trysekcję kąta. Ale był on z Leszna.

[darek334]

Generalnie jest ok - szepnął władca Aten matematykowi ze Staszowa - chodziło nam o użycie tylko jednego odcinka jako miary, przestawianie cyrkla irytuje tych starych głupców - po czym szybko się oddalił jak gdyby nic.

[kruszewski]

Rozmawiałem z tym wskazanym mi ze Staszowa, bo to kilka ulic obok, ale powiedział mi, że nie zna tego Ateńczyka, być może udaje on Greka. Ale też nie zna tylko cyrklowego sposobu podziału na trzy a wywód ocenił jako nietransparentny, bo po co komu był tam potrzebny odcinek jednostkowy w tym podziale, jeżeli może po za Ateńczykiem nikt nie znał miary dzielnej.