Matematyka.pl

W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^2+1}\) punktów tak, że żadne trzy nie należą do jednej prostej. Udowodnij, że wśród wybranych punktów istnieją trzy, które są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^2}}\) pola kwadratu.

Podziel dany kwadrat na \(\displaystyle{ n^2}\) mniejszych kwadracików. Z zasady szufladkowej wynika, że w co najmniej jednym z nich znajdują się trzy punkty. Każdy trójkąt znajdujący się w kwadracie ma pole niewiększe niż połowa pola kwadratu. Zatem istnieje taki trójkąt, którego \(\displaystyle{ P\leq \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{2n^2}}\), c.k.d.