Prosta przecinająca 2 okręgi, równe cięciwy

[mint18]

Czy dowolne 2 okręgi styczne zewnętrznie można przeciąć prostą tak, aby powstałe dwie cięciwy były równe? Jeśli tak, to jak należy poprowadzić taką prostą?

[kerajs]

Intuicja sugeruje, że istnieje wiele takich prostych.
Jeśli \(\displaystyle{ r_1 \le r_2}\) to jedna z nich przechodzi przez środek mniejszego okręgu i jest styczna do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_2^2-r_1^2}}\) koncentrycznego z okręgiem większym. W tym wypadku obie cięciwy mają długość \(\displaystyle{ 2r_1}\).

Jeśli \(\displaystyle{ r_1 \le r_2}\), a długość cięciwy ma wynosić 2d , (\(\displaystyle{ d \le r_1}\)) to szukana prosta będzie styczną do do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_1^2-d^2}}\) koncentrycznego z okręgiem mniejszym i jednocześnie styczną do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_2^2-d^2}}\) koncentrycznego z okręgiem większym. Dodatkowo ta prosta nie przecina odcinka łączącego środki podanych okręgów.

[mint18]

A może jakiś pomysł na konstrukcję?

[kerajs]

Jeśli \(\displaystyle{ r_1 \le r_2}\) to jedna z nich przechodzi przez środek mniejszego okręgu i jest styczna do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_2^2-r_1^2}}\) koncentrycznego z okręgiem większym. W tym wypadku obie cięciwy mają długość \(\displaystyle{ 2r_1}\).

Jedna z możliwych konstrukcji:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [red] (0,0) circle (2);
\draw [red,fill] (0,0) circle (0.05);
\draw [orange] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [orange,fill] (1.5,0) circle (0.05);
\draw [green,fill] (1.3333,1.4907) circle (0.09);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [green,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green,fill] (1.3333,1.4907) circle (0.09);
\draw [green] (3,0) circle (2.236068);
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [green] (3,0) circle (2.236068);
\draw [orange] (0.5,0) circle (2.5);
\draw [orange,fill] (0.5,0) circle (0.05);
\draw [fill] (2,2) circle (0.09);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (3,0) circle (2.236068);
\draw [dashed] (0.5,0) circle (2.5);
\draw [fill] (2,2) circle (0.09);
\draw (-4,-1)--(4,3);
\end{tikzpicture}}\)

[anna_]

1. Konstruujemy styczną do \(\displaystyle{ o(B,r_2)}\) przechodzącą przez punt \(\displaystyle{ A}\). Oznaczamy punkt styczności przez \(\displaystyle{ C}\).

2. Konstruujemy styczną do \(\displaystyle{ o(A,r_1)}\) i przechodzącą przez punt \(\displaystyle{ D}\). Oznaczamy punkt styczności przez \(\displaystyle{ D}\).

3. Prowadzimy prostą przez \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\).
Cięciwy \(\displaystyle{ ED}\) i \(\displaystyle{ CF}\) są równe.

Rysunek w załączniku.

[kerajs]

Jeśli \(\displaystyle{ r_1 \le r_2}\), a długość cięciwy ma wynosić 2d , (\(\displaystyle{ d \le r_1}\)) to szukana prosta będzie styczną do do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_1^2-d^2}}\) koncentrycznego z okręgiem mniejszym i jednocześnie styczną do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r_2^2-d^2}}\) koncentrycznego z okręgiem większym. Dodatkowo ta prosta nie przecina odcinka łączącego środki podanych okręgów.

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2,1)--(3.5,1);
\draw [orange] (2.8,1.4) node[below]{$d$};
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2,1)--(3.5,1);
\draw [orange] (0,0) circle (1.5);
\draw [orange,fill] (0,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2.8,1.4) node[below]{$d$};
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (0,0) circle (1.5);
\draw [green!80!black] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green!80!black,fill] (1.5,0) circle (0.05);
\draw [green!60!black] (-1,0) circle (1);
\draw [green!60!black,fill] (-1,0) circle (0.05);
\draw [fill,magenta] (-1.125,0.99216) circle (0.09);
\draw [fill,cyan] (0.75,1.299) circle (0.09);

\end{tikzpicture}}\)


\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [magenta,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [cyan,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (-1,0) circle (1);
\draw [fill,magenta] (-1.125,0.99216) circle (0.09);
\draw [magenta] (-2,0) circle (1.3229);
\draw [fill,cyan] (0.75,1.299) circle (0.09);
\draw [cyan] (3,0) circle (2.5981);
\draw [yellow!60!black] (-2,-0.5)--(-2,1.5);
\draw [yellow!60!black,fill] (-2,1.3229) circle (0.06);
\draw [yellow!60!black] (3,-0.5)--(3,2.8);
\draw [yellow!60!black,fill] (3,2.5981) circle (0.06);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-8,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (-1,0) circle (1);
\draw [magenta] (-2,0) circle (1.3229);
\draw [cyan] (3,0) circle (2.5981);
\draw [yellow!60!black,fill] (-2,1.3229) circle (0.06);
\draw [yellow!60!black,fill] (3,2.5981) circle (0.06);
\draw [yellow!70!black,fill] (3,2.5981)-- (-7.18693,0);
\draw [yellow!70!black,fill] (-7.18693,0) circle (0.07);
\draw [green] (-4.59346,0) circle (2.59346);
draw [green] (-4.59346,0) circle (0.05);
\draw (-7.18693,0)--(5,3.25);

\end{tikzpicture}}\)

[anna_]

Ta moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnego \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\).
Zastanawiam się jeszcze tylko nad dowodem.

[kruszewski]

Ta moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnego \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\).
Zastanawiam się jeszcze tylko nad dowodem.

To skąd ta pewność? Może zajrzeć tam gdzie jest to napisane?
Też jestem ciekawy dowodu.

[kerajs]

Sucharek:
Skoro się licytujemy, to moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnych \(\displaystyle{ r_2 \ge r_1 \ge d}\)


Aby wyczerpać temat należałoby jeszcze wskazać konstrukcję, gdzie prosta jest prowadzona między środkami stycznych zewnętrznie okręgów.

[Dilectus]

Cięciwy \(\displaystyle{ ED}\) i \(\displaystyle{ CF}\) są równe.

Pokaż to.

[anna_]

Sucharek:
Skoro się licytujemy, to moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnych \(\displaystyle{ r_2 \ge r_1 \ge d}\)


Aby wyczerpać temat należałoby jeszcze wskazać konstrukcję, gdzie prosta jest prowadzona między środkami stycznych zewnętrznie okręgów.

A co dla \(\displaystyle{ r_1 \le r_2}\)?

Na bank się zgadza, a nad dowodem myślę

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że dla okręgów stycznych zewnętrznie o jednakowych promieniach takich cięciw można poprowadzić dowolnie wiele. Ale tylko jedna para cięciw przynależy do prostej do której przynależą punkty wspólne obu okręgów i okręgu o średnicy równej odległości między środkami tych okręgów co jest równoznaczne z tym, że jego promień jest średnią arytmatyczną promieni tych okręgów.
Wykorzystując tę uwagę do konstrukcji takiej jak na rysunku, zauważamy, że prosta prostopadła do odcinka \(\displaystyle{ |DC|}\) połowi go, a to pozwala już na skonstruowanie cięciwy \(\displaystyle{ |CF|}\) i
pokazanie jej równości z cięciwą \(\displaystyle{ |ED|}\).

Zauważamy:
Prosta \(\displaystyle{ p}\) połowi cięciwy \(\displaystyle{ |DC| \ i \ |AH|}\) okręgu \(\displaystyle{ k}\).
Cięciwa \(\displaystyle{ |AH| \ || \ |DC|}\)
\(\displaystyle{ \angle EDA = \angle GDC}\) jako wierzchołkowe.
\(\displaystyle{ \angle GDC = \angle DCG}\) jako kąty u podstawy trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ \Delta GDC}\)
\(\displaystyle{ \angle DEA = \anle EDA = \angle CFH}\), stąd dla \(\displaystyle{ |AR| = |HP|}\) trójkąty
\(\displaystyle{ \Delta AED \ i \ \Delta HCF}\) są przystające, zatem zachodzi równość :
\(\displaystyle{ |ED| = |CF|}\) , co potwierdza tezę.
Poprawiłem rysunek o dodanie oznaczeń i objaśnienia.

Proszę Annę by wybaczyła mi wykorzystania Jej rysunku

[anna_]

Trójkąty \(\displaystyle{ EAD}\) i \(\displaystyle{ CBF}\) są równoramienne.
\(\displaystyle{ |ED|=x}\)

\(\displaystyle{ |CF|=y}\)

Trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) są prostokątne mają wspólną podstawę \(\displaystyle{ AB}\).
Okrąg \(\displaystyle{ O(O,\frac{1}{2}|AB|)}\) jest okręgiem opisanym na obu tych trójkątach, jest więc także opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ DBC}\).

Z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{r}{\sin \beta}=\frac{R}{\sin \alpha}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{R \sin \beta}{\sin \alpha}}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ EAD}\)
\(\displaystyle{ x^2=r^2+r^2-2r^2\cos (2\alpha)}\)

\(\displaystyle{ x^2=2r^2-2r^2(1-2\sin ^2\alpha)}\)

\(\displaystyle{ x^2=2r^2-2r^2+4r^2\sin ^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ x^2=4r^2\sin ^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ x^2=4\left(\frac{R \sin \beta}{\sin \alpha}\right) ^2\sin ^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ x^2=\frac{4R^2 \sin ^2\beta}{\sin ^2\alpha} \cdot \sin ^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ x^2=4R^2 \sin ^2\beta}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ CBF}\)
\(\displaystyle{ y^2=R^2+R^2-2R^2\cos (2\beta)}\)

\(\displaystyle{ y^2=2R^2-2R^2(1-2\sin ^2\beta)}\)

\(\displaystyle{ y^2=2r^2-2R^2+4R^2\sin ^2\beta}\)

\(\displaystyle{ y^2=4R^2 \sin ^2\beta}\)

\(\displaystyle{ x=y}\)