równoległobok i wektory

[robin5hood]

Na wektorach \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}}\) zbudowano równoległobok ABCD. Na przekątnych tego równoległoboku obrano punkty M i N, tak aby \(\displaystyle{ AM = {2 \over 5}AC}\) oraz \(\displaystyle{ BN = {3 \over 5} BD}\) . Wyznacz wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{MN}}\) w zależności od wektorów \(\displaystyle{ \overrightarrow{a}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{b}}\)

[scyth]

S - punkt przecięcia przekątnych równoległoboku.

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \\
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \\
\\
\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AM}=
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=
\frac{1}{10}\overrightarrow{AC} \\
\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BS}=
\frac{3}{5}\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=
\frac{1}{10}\overrightarrow{BD} \\
\\
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SN}=
\frac{1}{10}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{10}\overrightarrow{BD}=
\frac{1}{5}\overrightarrow{b}}\)