Punkt wspólny odcinków na prostej

[tmz28]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Na prostej danych jest \(\displaystyle{ n}\) odcinków, z których każde dwa mają punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie te odcinki mają punkt wspólny.

Wydaje mi się, że trzeba użyć indukcji, ale nie wiem jak wyrazić 'matematycznie' założenie i tezę.

[matmatmm]

oke. Chyba mam rozwiązanie:

Indukcja.
n=1. Oczywiste.
Ustalmy \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i poczyńmy wiadomo jakie założenie indukcyjne. Weźmy teraz pod uwagę \(\displaystyle{ n+1}\) odcinków takich, że dowolne dwa mają punkt wspólny. Oznaczmy nasze odcinki przez \(\displaystyle{ A_1,\ldots,A_{n+1}}\). Stosujemy założenie indukcyjne do odcinków \(\displaystyle{ A_1,\ldots,A_n}\) i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A_1\cap\ldots A_{n}\neq \emptyset}\). Skorzystamy teraz z faktu, że przekrój skończonej rodziny odcinków jest pusty, jednopunktowy lub jest odcinkiem. Oznaczmy ten przekrój przez \(\displaystyle{ P}\), niech \(\displaystyle{ p\in P}\) i całą prostą oznaczmy przez \(\displaystyle{ L}\). W każdym przypadku nasza prosta dzieli się na 3 rozłączne zbiory \(\displaystyle{ L=B_1\cup P\cup B_2}\) w taki sposób, że dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ b_1\in B_1, p\in P, b_2\in B_2}\) punkt \(\displaystyle{ p}\) leży między punktami \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_2}\) (\(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\) są półprostymi). Jeśli wykażemy, że \(\displaystyle{ A_{n+1}\cap P\neq \emptyset}\), to dowód będzie zakończony. Przypuśćmy najpierw, że \(\displaystyle{ A_{n+1}\subset B_1}\). Z założenia wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ k=1,\ldots,n}\) odcinek \(\displaystyle{ A_{k}}\) ma punkt wspólny \(\displaystyle{ a_k}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ A_{n+1}}\). Niech \(\displaystyle{ k_0\in\{1,\ldots,n\}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ a_{k_0}}\) znajduje się najbliżej punktu \(\displaystyle{ p}\) (dla każdego \(\displaystyle{ k=1,\ldots,n}\), \(\displaystyle{ a_{k_0}}\) leży między \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ a_k}\) lub ewentualnie \(\displaystyle{ a_{k_0}=a_{k}}\)). Wówczas \(\displaystyle{ a_{k_0}\in A_1\cap\ldots\cap A_{n}=P}\) (bo dla każdego \(\displaystyle{ k=1,\ldots,n}\), \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ a_k}\) należą do \(\displaystyle{ A_k}\)) oraz \(\displaystyle{ a_{k_0}\in A_{n+1}\subset B_1}\), co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ P}\) są rozłączne. Stosując to samo rozumowanie dochodzimy do sprzeczności również, gdy \(\displaystyle{ A_{n+1}\subset B_2}\). Zatem \(\displaystyle{ A_{n+1}\not\subset B_1, A_{n+1}\not\subset B_2}\). Jeśli dodatkowo założymy, że \(\displaystyle{ A_{n+1}\cap P=\emptyset}\) (w przeciwnym razie mamy tezę), to muszą więc istnieć punkty \(\displaystyle{ b_1\in A_{n+1}\cap B_1, b_2\in A_{n+1}\cap B_2}\). \(\displaystyle{ p}\) leży między punktami \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_2}\), a punkty te należą do odcinka \(\displaystyle{ A_{n+1}}\), więc \(\displaystyle{ p\in A_{n+1}}\).

Jakby coś było niejasne to pytaj.

[tmz28]

Dzięki. Zrozumiałem, ale nie byłbym w stanie sam przeprowadzić takiego dowodu.

Próbuję to rozwiązać po swojemu. Oznaczam odcinek \(\displaystyle{ i}\) na prostej jako parę liczb \(\displaystyle{ A_i,B_i}\), przy czym \(\displaystyle{ A_i<B_i}\). Odcinki \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) (\(\displaystyle{ 1<i<j<n}\)) mają punkt wspólny, gdy \(\displaystyle{ A_j<B_i}\). Trzeba pokazać, że jeśli zachodzi to dla wszystkich par \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\), to \(\displaystyle{ A_1<...<A_n<B_1<...<B_n}\).

Czy to jest dobrze i da się w ten sposób rozwiązać?

[a4karo]

Próbuję to rozwiązać po swojemu. Oznaczam odcinek \(\displaystyle{ i}\) na prostej jako parę liczb \(\displaystyle{ A_i,B_i}\), przy czym \(\displaystyle{ A_i<B_i}\). Odcinki \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) (\(\displaystyle{ 1<i<j<n}\)) mają punkt wspólny, gdy \(\displaystyle{ A_j<B_i}\).

To nie jest prawda: Niech \(\displaystyle{ A_1=0, B_1=2, A_2=3,B_2=4}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_1<B_2}\), ale odcinki nie mają punktów wspólnych.
Ale nawet gdyby to byłą prawda, to potrzebowałbyś faktu typu "własność geometryczna zachodzi WTEDY I TYLKO WTEDY gdy zachodzi pewna włąsność arytmetyczna", bo na końcu z faktu arytmetycznego chcesz pokazać cos geometrycznego.

Trzeba się powołać na mocniejszy fakt: odcinki \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) maja punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ A_i\leq B_j}\) i \(\displaystyle{ A_j\leq B_i}\)

Udowodnij ten fakt i pomyśl dalej. Zauważ, że musisz posługiwać się słabymi nierównościami, bo nikt Ci nie gwarantuje, że końce odcinków są różne.

Trzeba pokazać, że jeśli zachodzi to dla wszystkich par \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\), to \(\displaystyle{ A_1<...<A_n<B_1<...<B_n}\).

To akurat nie musi być prawdą (sam wymyśl prosty kontrprzykład).

@matmatmm - dowód używa faktu

Skorzystamy teraz z faktu, że przekrój skończonej rodziny odcinków jest pusty, jednopunktowy lub jest odcinkiem.

, który wypadałoby chyba udowodnić.

Polecam lekturę artukułu o twierdzeniu Helly'ego

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Helly%27s_theorem

[matmatmm]

@matmatmm - dowód używa faktu

Skorzystamy teraz z faktu, że przekrój skończonej rodziny odcinków jest pusty, jednopunktowy lub jest odcinkiem.

, który wypadałoby chyba udowodnić.

E tam. To jest trywialne.

Ukryta treść:    

Przekrój dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest wypukły.

dygresja:    

Chociaż, gdyby rozpatrywać dowolny zbiór liniowo uporządkowany (niekoniecznie standardową prostą), to nie każdy zbiór wypukły jest przedziałem i trzeba użyć skończoności tej rodziny.